9. Логические функции

9.1. Основные определения

Пусть имеется функция, заданная на некотором множестве М. Функция называется логической, если она принимает значения в конечном множестве N. Если множество N содержит п элементов, то логическая функция называется п-значной. Перечень всех символов, соответствующих области значений логической функции, называется алфавитом, а сами элементы множества N – буквами этого алфавита.

Логическая функция называется однородной, если её аргументы принадлежат тому же множеству, что и значение функции. Другими словами, логическая функция отображает декартову степень множества N ⁿ в само множество N. Областью определения однородной функции служит множество наборов , называемых словами, где каждый из аргументов замещается буквами k-ичного алфавита {0, 1, …, k-1}. Количество п букв в данном слове определяет его длину.

Определим общее число различных однородных логических функций n переменных. Очевидно, число всевозможных слов длины п в k-ичном алфавите равно . Так как каждому из этих слов можно поставить в соответствие любое из k значений множества N, то общее количество однородных логических функций n переменных равно .

Если буквами алфавита служат числа от 0 до k-1, то каждое слово символически представляется упорядоченной последовательностью п таких чисел и рассматривается как запись п-разрядного числа в позиционной системе счисления с основанием k, т. е. . Числа служат номерами слов и тем самым на множестве всех слов вводится естественная упорядоченность (отношение стро­гого порядка). Аналогично номерами функций можно считать -разрядные числа в той же системе счисления.

Так, в трехзначном алфа­вите {0, 1, 2} словами длины 4 будут все четырехразрядные числа с основанием k = 3, т. е. 0000, 0001, 0002, 0010, 0011, ..., 2221, 2222, которые соответствуют десятичным числам от 0 до 80. Поставив каждому такому четырехразрядному числу в соответствие одну из букв алфавита {0, 1, 2}, получим некоторую функцию четырех переменных, причем количество таких функций выражается огромным числом 3⁸¹.

9.2. Табличное задание функции

Как и бинарный закон компо­зиции, однородная функция двух переменных может быть задана таблицей соответствия (матрицей), строки и столбцы кото­рой соответствуют буквам алфавита. Таким способом можно представлять функции одной и двух переменных. Для представления функций трех и большего числа переменных потребовались бы трехмерные и, вообще, п-мерные таблицы. Этого можно избежать, если столбцы матрицы поставить в соответствие не буквам алфавита, а словам, т.е. образовать k столбцов. Для каждой функции отводится строка, клетки которой запол­няются буквами из данного алфавита. Матрица всех функций п переменных в k -значном алфавите содержит строк и называ­ется общей таблицей соответствия. Например, для k = 3 и п = 2 такая матрица имеет вид:

Номера столбцов определяются расположенными над ними п-разрядными числами с основанием k, каждое из которых чита­ется сверху вниз. Номера функций отождествляются с -разрядными числами, которые соответствуют строкам матрицы в той же системе счисления.