8.3. Линейные пространства

Непустое множество L называется линейным, или векторным, пространством, если оно удовлетворяет следующим условиям:

I. Для любых двух элементов х, у  L однозначно определен третий элемент z  L, называемый их суммой и обозначаемый х + у, причем

1) х + у = у + х (коммутативность),

2) х + (у + z) = (х+ у) + z (ассоциативность),

3) в L существует такой элемент 0, что х + 0 = х для всех x  L (существование нуля),

4) для каждого x  L существует такой элемент -х, что х + (-х) = 0 (существование противоположного элемента).

II. Для любого числа α и любого элемента х  L определен элемент x  L (произведение элемента х на число ), причем

1) (х)=()х,

2) 1·х=х

3) ( + )х = x + x,

4) (х+у) = х + у.

В зависимости от того, какой запас чисел (все комплексные или только действительные) используется, различают комплекс­ные и действительные линейные пространства. Заметим, что всякое комплексное линейное пространство можно рассматривать как некоторое действительное простран­ство, если ограничиться в нем умножением векторов на действи­тельные числа.

Рассмотрим некоторые примеры линейных пространств.

1. Прямая линия R¹, т. е. совокупность действительных чисел с обычными арифметическими операциями сложения и умноже­ния, представляет собой линейное пространство.

2. Совокупность всевозможных упорядоченных наборов из п действительных чи­сел , где сложение и умножение на число определяются покоординатно, также является линейным пространством. Оно называется дей­ствительным п-мерным арифметическим пространством и обо­значается символом Rⁿ. Аналогично, комплексное п-мерное арифметическое пространство Сⁿ определяется как совокупность наборов п комплексных чисел (с умножением на любые комплекс­ные числа).

3. Непрерывные (действительные или комплексные) функции на некотором отрезке [a,b] с обычными операциями сложения функций и умножения их на числа образуют линейное простран­ство С [a, b] , являющееся одним из важнейших в математическом анализе.

Линейные пространства L и L* называются изоморфными, если между их элементами можно уста­новить взаимно однозначное соответствие, которое согласовано с операциями в L и L*. Это означает, что из

следует

и ,

где α - произвольное число.

Изоморфные пространства можно рассматривать как различные реализации одного и того же пространства. Примерами изоморфных линейных пространств могут служить арифметическое п-мерное пространство (действительное или комплексное) и пространство всех многочленов степени п-1 (соответственно с действительными или комплексными коэффициентами) с обычными операциями сложения многочленов и умножения их на числа.

8.4. Нормированные пространства

Пусть L - линейное пространство. Функция р, определенная на L, называется нормой, если она удовлетворяет следующим трем условиям:

1) р(х)  0, причем р(х) = 0 только при х = 0,

2) p(x + y)  p(x) + p(y), x,y  L.

3) р(x) = \\ р(х), каково бы ни было число .

Линейное пространство L, в котором за­дана некоторая норма, мы назовем нормированным простран­ством. Норму элемента x  L мы будем обозначать симво­лом .

Всякое нормированное пространство становится метрическим пространством, если ввести в нем расстояние

Справедливость аксиом метрического пространства тотчас же вытекает из свойств нормы. На нормированные про­странства переносятся, таким образом, все те понятия и факты, которые справедливы для метрических пространств.

Рассмотрим примеры нормированных пространств. Многие из пространств, рассматривавшихся в качестве примеров метрических пространств, в действительности могут быть наделены естественной структу­рой нормированного пространства.

1. Прямая линия R¹ становится нормированным пространством, если для всякого числа х  R¹ положить

2. Если в действительном п-мерном пространстве Rⁿ с элементами положить

то все аксиомы нормы будут выполнены. Формула

определяет в Rⁿ ту самую метрику, которую мы в этом про­странстве уже рассматривали.

В этом же линейном пространстве можно ввести норму

или норму

Эти нормы определяют в Rⁿ метрики, которые мы рассматри­вали в примерах 4 и 5 п. 1. Проверка того, что в ка­ждом из этих случаев аксиомы нормы действительно выполнены, не составляет труда.

3. В пространстве С [a, b] непрерывных функций на отрезке [a, b] определим норму формулой

Соответствующая метрика уже рассматривалась в примере 6 п. 1.