6.5. Аддитивные и мультипликативные обозначения.

Свойства законов композиции можно представить в двух формах. В аддитив­ных обозначениях операция ┬ записывается символом сложения (+), а в мультипликативных - символом умножения (). Если мно­жество наделено двумя законами композиции, то чаще всего первый из них ┬ считается аддитивным, а второй ┴ - мультипликатив­ным. В аддитивной записи нейтральный элемент обозначается через 0 и называется нулем, а симметричный элементу а — через (-а). В мультипликативной записи нейтральный элемент обозна­чается через 1 и называется единицей, а симметричный элементу a — через а^-1.

В отличие от элементарной алгебры знаки + и  не обязательно обозначают сложение и умно­жение чисел. Они просто заменяют в различных соотношениях символы ┬ и ┴, указывая на то, что над элементами множества (не обязательно числами) выполняются некоторые операции. Эти опера­ции могут лишь внешне напоминать обычные операции сложения или умножения чисел, но по существу в общем случае — это дру­гие операции. Удобство аддитивных и мультипликативных обозна­чений состоит в том, что при операциях над числами различные соотношения совпадают с общепринятой формой записи.

6.6. Алгебраические системы.

Определяя на некотором множестве S один или два закона композиции и наделяя их определенными свой­ствами, а также задавая структуру множества относительно зако­нов композиции (наличие нейтрального элемента и симметризуемость множества), получаем различные алгебраические системы (структуры или модели). Наиболее употребительные из них приведены в таблицах 6.1 и 6.2, где звездочка (*) указывает на то, что данный закон обладает отмеченными свойствами, и множество содержит относительно этого закона соответствующие элементы.

Пусть на множестве S определена одна бинарная операция. Если эта операция ассоциативна, то множество S называется полугруппой или моноидом. Если, кроме этого, в S существует нейтральный элемент, то S называется полугруппой с единицей. Если введенная на S операция ассоциативна и коммутативна, то S называется коммутативной или абелевой полугруппой. Если, кроме того, в S существует нейтральный элемент, то S - абелева полугруппа с единицей. Если бинарная операция, заданная на S, ассоциативна, существует нейтральный элемент и для любого элемента существует ему симметричный, S называется группой. Если, кроме того, операция коммутативна, то S абелева группа.

Таблица 6.1.

Тип системы	Свойства операции
	ассоциативность	коммутативность	существование нейтрального элемента	существование симметричного элемента
Полугруппа (моноид)	*
Абелева (коммутативная) полугруппа	*	*
Полугруппа с единицей	*		*
Абелева полугруппа с единицей	*	*	*
Группа	*		*	*
Абелева группа	*	*	*	*

Во всякой группе соотношения (уравнения) а┬х = b и у┬а = b допускают единственное решение х = ā┬b (частное справа) и у = b┬ā (частное слева). Имеет место также соотношение

_____ _ _

(а ┬ b) = b ┬ а или -(а+b)= -b-а (в аддитивной записи)

и (в мультипликативной записи).

Рассмотрим множество, на котором введены две операции В этом случае обычно предполагается, что первая операция - аддитивной (сложение) а вторая – мультипликативна (умножение), при этом вторая операция дистрибутивна относительно первой. Пусть по первой операции множество представляет собой абелеву группу. в зависимости от свойств второй операции различают следующие типы алгебраических систем.

Если вторая операция ассоциативна, то полученная структура является кольцом. Если она, кроме того, коммутативна, то кольцо абелево. Если кольцо обладает нейтральным элементом, то получаем кольцо с единицей (унитарное кольцо) или абелево кольцо с единицей, в зависимости от того, коммутативна рассматриваемая операция или нет. Если вторая операция ассоциативна, обладает единицей и для всех элементов за исключением нейтрального по первой операции (0), существует обратный, то полученная алгебраическая структура называется телом. Коммутативное тело называется полем.

Таблица 6.2.

Тип системы	1 операция (+)				2 операция (*)
	ассоциативность	коммутативность	существование нейтрального элемента	существование симметричного элемента	ассоциативность	коммутативность	существование нейтрального элемента	существование симметричного элемента
Кольцо	*	*	*	*	*
Абелево кольцо	*	*	*	*	*	*
Кольцо с единицей (унитарное)	*	*	*	*	*	*	*
Абелево кольцо с единицей	*	*	*	*	*	*	*
Тело	*	*	*	*	*		*	*
Поле	*	*	*	*	*	*	*	*

Изучение алгебраических систем позволяет выявить общие свойства операций на множествах объектов различной природы. Эти свойства используются при решении многих научных и технических задач. Из приведенных алгебраических систем наиболее широкими понятиями являются моноид и группа, а наиболее узкими - тело и поле. Последние обслуживают в основном числовые множества, в то время как более широкие понятия распространяются и на более далекие от чисел совокупности объектов.