5. Свертка дискретных сигналов: секционная свертка.( Блочная свертка) Привести пример.

Блочная свертка. На практике очень часто встречается случай, когда одна из последовательностей очень длинная или бесконечная. Вторая последовательность импульс хар-ка фильтра.

Длинный сигнал разбивается на блоки и секции, которые сворачиваются по отдельности. Если не разбивать, то будет очень длинная задержка.

N={1;4;2}-Импульсная характеристика длинною М = 3

Х={1; 2; 3; 4; 5; 4; 3; 3; 2; 2; 1; 1}- последовательность длинною N = 12

Должно получиться:

У={1; 6; 13; 20; 27; 32; 29; 23; 20; 16; 13; 9; 6; 2}

Разобьем исходную последовательность на 2 блока по 6 элементов и выполним свертку с ИХ по отдельности:

Y1(n)={1; 6; 13; 20; 27; 32; 26; 8}

Y2(n)={3; 15; 20; 16; 13; 9; 6; 2}

Сравнивая полученные рез-ты можно заметить, что средние 2 элемента полной свертки равны сумме последних 2 элементов первой частичной свертки и 2 первым второй частичной свертки.

Алгоритм:

1. Входной сигнал разбивается на блоки по К отсчетов

2. Каждый блок фильтруется независимо. Длина частных сверток К+М-1

3. Блоки частных сверток объединяются. При этом кратные М-1 отсчетов перекрываются и суммируются.

6. Дискретное преобразование Фурье, растекание спектра. ДПФ – разновидность преобразования Фурье, предназначенная для работы с дискретными сигналами.Пусть x(nТ) периодическая последовательность с периодом NT, т.е. x(nТ)=x(nТ+mNT). ДПФ называют пару взаимно однозначных преобразований:

При вычислении ДПФ (дискрет. преобразование Фурье) предполагается, что последовательность отсчетов анализируемого сигнала является периодической, причем, для вычисления ДПФ используется один полный период (либо несколько). Если вычисляется ДПФ непериодической последовательности или число отсчетов ДПФ не совпадает с периодом сигнала, то значение начальных и конечных отсчетов ДПФ «не стыкуются».

Это приводит к растеканию спектра.

Пример.

Борьба с этим явлением. Применяют оконные функции. Для оконных функций характерно наличие максимумов в середине и уменьшение к краям.

Производится перемножение оконных функций на отсчеты входного сигнала (нули по краям – скачка не будет).

8. Преобразование Уолша и его применение для обработки сигналов.

Функциями Уолша называется семейство функций, образующих ортогональную систему, принимающих значения только 1 и −1 на всей области определения.

В принципе, функции Уолша могут быть представлены в непрерывной форме, но чаще их определяют как дискретные последовательности из элементов. Группа из функций Уолша образует матрицу Адамара.

Функции Уолша получили широкое распространение в радиосвязи, где с их помощью осуществляется кодовое разделение каналов (CDMA), например, в таких стандартах сотовой связи, как IS-95, CDMA2000 или UMTS.

Система функций Уолша является ортонормированным базисом и, как следствие, позволяет раскладывать сигналы произвольной формы в обобщённый ряд Фурье .

Преобразование Уолша-Адамара

Является частным случаем обобщённого преобразования Фурье, в котором базисом выступает система функций Уолша.

Обобщённый ряд Фурье представляется формулой:

где это одна из базисных функций, а  — коэффициент.

Разложение сигнала по функциям Уолша имеет вид:

В дискретной форме формула запишется следующим образом:

Определить коэффициенты можно, осуществив скалярное произведение раскладываемого сигнала на соответствующую базисную функцию Уолша:

Следует учитывать периодический характер функций Уолша.

9. Интерполяция: спектральная трактовка, КИХ-фильтры для полиномиальной интерполяции 0- и 1-го порядка; использование полифазной структуры. Интерполяция – процесс цифр. обработки сигналов, приводящий к формированию сигнала y(nT) с повышенной частотой дискретизации из сигнала x(vT’)=x(vLT) с более низкой частотой дискретизации при определенных ограничениях на временные и спектральные изменения исх.сигнала.

Выделяют три разновидности процесса интерполяции ЦОС:

1. Увеличение частоты дискретизации осуществляется в соответствии с математическим понятием интерполяции;

2. При увеличении част.дискр. исходные отсчеты дискретного сигнала x(vT’) оказываются утерянными, однако отсчеты выходного сигала y(nT) могут рассматриваться как отсчеты исходного аналогового сигнала x(t), из которого путем дискретизации с интервалом T’ образован исходный дискретный сигнал x(vT’). В этом случае форма огибающей сигналов x(vT’) и y(nT) (и спектр) не изменяются;

3. Увеличение част.дискретизации приводит к изменению формы интерполируемого сигнала, однако модуль спектра не меняется.

Д-дискретизатор c интервалом дискретизации T’=LT., ИИ-идеальный интерполятор увеличивает част.дискр. в целое число L.После ИИ сигнал можно рассматривать, как результат дискретизации исх.аналогового сигнала x(t) с интервалом дискретизации T=T’/L. , Hφ-дискретная система с частотной хар-кой .

Частотная интерполяция процесса с целым коэффициентом L:

а)спектр исходного аналогового сигнала. б)спектр дискретизированного сигнала с часотой дискретизаии fд. в)спектр дискретизированного сигнала с частотой дискретизации fд’=3fд.

Т.О. процесс повышение частоты дискретизации (интерполяции) – преобразование спектра от б) к в), то есть подавление «лишних» частотных составляющих исх.спектра.

Увеличение частоты дискретизации исх.сигнала в нужное число раз L осуществляет экспандер частоты дискретизации (ЭЧД).

Использование полифазной структуры при интерполяции с использованием КИХ-фильтров. Особенность данной структуры в том, что вместо одного фильтра, работающего на высокой частоте дискретизации, используется несколько фильтров, работающих на низкой частоте. Полифазный фильтр представляет собой набор небольших фильтров, работающих параллельно, каждый из которых обрабатывает только подмножество отсчётов сигнала (если всего имеется N фильтров, каждый фильтр будет обрабатывать только каждый N-й отсчёт). Эквивалентная схема полифазной структуры:

Проектирование КИХ-фильтров для полиномиальной интерполяции 0- и 1-го порядка.

Нулевой порядок. При вычислении очередного отсчета вых сигнала y(nT) с интервалом дискретизации T исп-ся только один отсчет входного интерполируемого сигнала x(vT’) с интервалом дискретизации T’. При увеличении частоты дискретизации в L раз отсчет сигнала x(vT’) повторяется L раз на тактах n=vL, vL+1, …,vL+L-1:

y(nT)=x(vT’), n=vL, vL+1, …,vL+L-1, v=0,1,2,…

Процесс интерполяции нулевого порядка показан на след.рис, где Tз-задержка, вносимая фильтром.

Передаточная функция фильтра

Реализация однородного фильтра:

Входной сигнал x(vT’) записывается в регистр RG с частотой fд’=1/T’, а считывание сигнала y(nT) производится с частотой fд=Lfд’=1/T. Первый порядок(линейная интерполяция). Пусть дан сигнал x(n)=cos(2πn∙0,125). Между кажд. отсчетом исх. сигнала вставляется L-1 отсчетов (повышение част.дискретизации). Записывается передаточная функция

Далее выполняется фильтрация сигнала с L-1 отсчетами.Фильтр с вышеуказанной ПФ называется триангулярным. Такому фильтру соответствует последовательное соединение двух однородных фильтров с ПФ:

10. Децимация: спектральная трактовка, КИХ-фильтры для полиномиальной децимации 0- и 1-го порядка; использование полифазной структуры.Децимация - процесс уменьшения частоты дискретизации сигнала.

Рассмотрис сигнал x(t), модуль его спекта а).

x(nT)-дискретизированный сигнал с интервалом дискретизации T, его модуль его спектра в первом случае б), во втором г).

x(лямбдаT)-дискретизированный сигнал x(t) с интервалом дискретизации T’=MT.(M=2), его модуль спектра в первом случае в), во втором д).

Случай 1. При дискретизации с частотой wд1 выполнилось условие условие wд1 2Мwmax.(в нашем случае wд1 4wmax ). Сигнал можно восстановить, так как спектр не перекрывается.

Случай 2. При дискретизации с частотой wд2 не выполнилось условие условие wд2 2Мwmax. Сигнал восстановить нельзя, т.к спектр накладывается.

Для выполнения операции децимации в целое число раз М необходимо, чтобы частота дискретизации wд сигнала x(nT), подлежащего децимации, удовлетворяло условию wд 2Мwmax.

Операция децимации осуществляется с помощью компрессора частоты дискретизации(КЧД)(рис слева). КЧД представляет собой ключ, который замыкается в моменты t=nMT=лямбдаT’, то есть из входного сигнала x*(nT) с интервалом дискретизации Т берется только каждый М-й отсчет и формирует сигнал x(лямбдаT’)= x*(лямбдаМТ) с интервалом дискретизации Т=МТ

Использование полифазной структуры при децимации с использованием КИХ-фильтров. Данная структура содержит М параллельных ветвей обработки, в каждой из которых находится фильтр, работающий на «низкой» (выходной) частоте дискретизации. Уравнение, описывающее полифазную структуру децимации:

Где М-целочисл.коэффициент,

G-целое число, r=0, 1,…,M-1.

Т.е. выходная последовательность y(лямбдаT’) схемы есть сумма М последовательностей yk(лямбдаMT’), k=0,1,…,M-1, каждая из которых есть в свою очередь результат фильтрации последовательности yk*(лямбдаMT’)=x(лямбдаМТ-kT) дискретным фильтром с ПФ Hk*(zM) и импульсной характеристики brk=brM+k, причем отсчеты импульсной характеристики k-го фильтра есть отсчеты импульсной характеристики bl фильтра-прототипа,взятые через М-1 отсчет.

Проектирование КИХ-фильтров для полиномиальной децимации 0- и 1-го порядка.

Схема уменьшения частоты дискретизации

Нулевой порядок. В качестве фильтра используется однородный, передаточная функция которого:

АЧХ однородного фильтра

Условие, при котором выбирается порядок фильтра: N=k*M.

Первый порядок. В качестве фильтра используется триангулярный с ПФ.

с АЧХ

11. Квантование сигналов по уровням, шум квантования. Квантование и масштабирование коэффициентов цифровых фильтров. Привести примеры вычислений с использованием арифметики с насыщением и с переносом для трехразрядных чисел.

Квантование— в информатике разбиение диапазона значений непрерывной или дискретной величины на конечное число интервалов. Существует также векторное квантование — разбиение пространства возможных значений векторной величины на конечное число областей. Простейшим видом квантования является деление целочисленного значения на натуральное число, называемое коэффициентом квантования.

Квантование по уровню — представление величины отсчётов цифровыми сигналами. Для квантования в двоичном коде диапазон напряжения сигнала от до делится на интервалов. Величина получившегося интервала (шага квантования):

Каждому интервалу присваивается -разрядный двоичный код — номер интервала, записанный двоичным числом. Каждому отсчёту сигнала присваивается код того интервала, в который попадает значение напряжения этого отсчёта. Таким образом, аналоговый сигнал представляется последовательностью двоичных чисел, соответствующих величине сигнала в определённые моменты времени, то есть цифровым сигналом. При этом каждое двоичное число представляется последовательностью импульсов высокого (1) и низкого (0) уровня.

Шум квантования

При представлении отсчетов дискретного сигнала в виде чисел с ограниченной разрядностью происходит их округление. Разность между исходным и округленным значениями, называется шумом квантования.

е – ошибка между истинным и округленным значением.

Если при квантовании происходит округление значений сигнала, то значения шума квантования лежат в следующих пределах:

Δ - расстояние между соседними уровнями квантования. В большинстве случаев можно считать е(t) случайны процессом, имеющим равномерное распределение вероятности, то он имеет дисперсию .

Масштабирование применяется для чисел с фиксированной точкой. Если динамический диапазон ячеек памяти исполнительного устройства некоего звена системы ЦОС меньше, чем диапазон входных значений, можно при подаче их в соответствующее звено можно поделить на некий коэффициент, а результат умножить на этот коэффициент.

Коэффициент, на который умножается или делится, как правило является степенью двойки.

Обработка ситуации переполнения разрядной сетки: