Машинная графика и геометрическое моделирование.
При рассмотрении областей применения МГ мы рассматривали 3 основных: синтез, анализ, обработка. При синтезе, который рассматривался как основная задача, визуальное представление создается на основе описаний. Данные могут поступать от выбранного пользователем источника ввода, быть результатом вычислений или следствием команды действия операторами рабочих станций. Если первый и последний источники данных прозрачны, то второй-это результаты вычислений достаточно абстрактны и под этой фразой мы будем понимать геом. моделирование. Основой ГМ явл-ся вычислительная геометрия, которая занимается вопросами представления данных в ЭВМ, анализе и синтезе информации о геометрическом образе.
Аналитические способы задания поверхностей. Преимущества параметрического способа задания.
Аналитически поверхность можно задавать след. jбразом:
Параметрические уравнения
Явное уравнение
Неявное уравнение
Основным преимуществом параметрического описания является возможность передачи геометрической формы очень сложных поверхностей, которые другими методами описать очень сложно. Кроме того, такой способ освобождает от привязки к какой-л определенной системе координат.
Параметрическое описание кривых.
Пусть движущаяся точка определяется с помощью значения радиус-вектора, которое он принимает в последовательные моменты времени. Обозначим эту зависимость между r и t посредством функции r(t). Тем самым мы фиксируем, что r явл-ся функционально зависимой от t. В координатной форме : x=x(t),y=y(t),z=z(t). а поскольку параметр выбирается произвольно, то кривая не имеет единственного параметрического представления.
Параметрическое описание поверхностей. Поверхности вращения.
Представим поддающуюся деформации кривую r=r(u), которая перемещается в 3д пространстве. Тогда можно увидеть, что являющиеся последовательными положениями движущейся кривой образуют некоторую поверхность, каждая точка которой хар-ся параметрами u(положение заданной точки на кривой) и t(прохождение этой точки, перемещающейся кривой). Таким образом уравнение r=r(u,t) определяет поверхность в 3д пространстве. Координаты же точек этой поверхности определяются функциями x=x(u,t), y=y(u,t), z=z(u,t). Если u или t фиксированы, то мы имеем один переменный параметр и следовательно векторное уравнение r=r(u0,t) или r=r(u,t0) описывает кривые, лежащие на поверхности r=r(u,t), причем u0, t0 – константы принадлежащие множеству значений параметров u и t, определяющими данную поверхность. Такие кривые называются параметрическими кривыми на поверхности и их характер зависит от способа выбора параметра.
Поверхности вращения достаточно распространены в человеческой деятельности и получаются в рез-те вращения плоской кривой вокруг оси симметрии. Предположим осью симметрии будет Оz. Соответственно поверхность вращения пересекается xOz, в рез-те чего получаем поперечное сечение, плоскую кривую
rc= rc (u) = p(u)i+z(u)k
общий вид этого уравнения
r = p(u)cos(θ)i+p(u)sin(θ)j+z(u)k
Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Нормаль поверхности явл-ся одним из важнейших параметров для определения цвета точки при построении реалистичексих изображений, поэтому рассмотрим вопрос об определении нормали в параметрически заданной поверхности. Касательный вектор параметрической кривой r=r(u0,v) кратен вектору dr/dv, кривой r=r(u,v0) кратен вектору dr/du. Плоскость касательная к этим кривым в точке их пересечения r(u0,v0) содержит оба указанных выше вектора и следовательно нормаль к рассматриваемой поверхности кратна векторному произведению этих касательных векторов. Соответственно единичный нормальный вектор равен ±(dr/du X dr/dv)/| dr/du X dr/dv |. Где производные вычисляются в точке u0,v0. Ориентация вектора нормали выбирается в соответствии с рассматриваемым случаем.