Общие формулы основных уравнений линий.

Рассмотрим линию:

dx – бесконечно малый элемент длины,

x – расстояние от начала линии.

Рисунок 1.14

Токи в цепи с распределенными параметрами в различных ее точках не одинаковы, т.к. проводимость и емкость распределены вдоль всей линии и вызывают утечку тока различной величины. Учитывая это для расчетов нельзя применять уравнения цепи сосредоточенными параметрами, где ток остается неизменным вдоль всей неразветвленной цепи. В этом случае на электрической линии выделяют бесконечно малый элементарный участок dx, изменениями тока и напряжения, вдоль которого можно пренебречь.

Эквивалентная схема участка dx.

Применяя закон Ома к эквивалентной схеме, получаем падение напряжения в проводниках:

(1.32)

(1.33)

Рисунок 1.15

Продифференцируем данные уравнения по х, тогда дифференциальное уравнение линии примет вид:

; (a)

. (b)

где R + jL = Z_пр – километрическое сопротивление проводов;

G + jC = Y_из – километрическая проводимость изоляции.

Для перехода к уравнению с одной функцией продифференцируем уравнение а по х

.

Подставим b в получившееся выражение:

(1.34)

где dU_х – бесконечно малая величина второго порядка, которая стремится к нулю, поэтому мы можем ей пренебречь.

, (1.35)

где =  – коэффициент распространения волны.

Преобразуем выражение (1.9)

. (1.36)

Зная что =, получим волновое уравнение линии

. (1.37)

Данное уравнение описывает механизм распространения волны вдоль линии и представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решение выглядит следующим образом:

, (1.38)

где A₁ и А₂ – напряжения, определяемые из начальных условий.

Продифференцируем данное выражение

. (1.39)

Подставим теперь это выражение в формулу (1.7а)

. (1.40)

Далее получим

, (1.41)

где Z_в= – волновое сопротивление линии.

2Общие формулы основных уравнений линии.

; (2.1)

; (2.2)

x = 0, – напряжение в начале линии;

. (2.3)

Коэффициенты A₁ и А₂ равны:

А₁ = ; (2.4)

А₂ = . (2.5)

Далее запишем:

; (2.6)

. (2.7)

Используя формулу Эйлера, получим:

; (2.8)

. (2.9)

При решении задач нам удобно выражать токи и напряжения в начале через токи и напряжения в конце, поэтому систему (1.14) нужно решить относительно и через U(l) и I(l), полагая, что x = l :

; (2.10)

. (2.11)

Входное сопротивление линии.

Входное сопротивление линии равно отношению

, (2.12)

где Z_н= – сопротивление нагрузки.

. (2.13)

Существует несколько частных случаев:

1. Z_н = Z_в  Z_в = Z_вх;

2. Z_н = 0  ;

3. Z_н =   .

Рассмотрим частные случаи для основных параметров линии:

Идеальная линия: R=0, G=0.

, (2.14)

 = 0 = const;

 =  .

Такая линия не искажает сигналы. Нет амплитудночастотных искажений, т.к.  от частоты не зависит. Нет фазочастотных искажений, т.к. фазовая характеристика является функцией частоты.

, (2.15)

. (2.16)

Волновое сопротивление для такой линии равно

. (2.17)

Волновое сопротивление линии чисто активное, поэтому энергия, переносимая вдоль линии носит чисто активный характер:

. (2.18)

Линия на постоянном токе.

; (2.19)

, при =0. (2.20)

Основные уравнения линии можно записать через гиперболические функции, но вещественный аргумент:

; (2.21)

. (2.22)

Согласованная линия.

Линия довольно часто может работать как согласованная – это линия, у которой сопротивление нагрузки равно волновому сопротивлению линии. Уравнения для напряжения и тока такой линии выглядят следующим образом:

(2.23)

(2.24)

Полагаем что Z_в = Z_н.

(2.25)

. (2.26)

Учитывая, что , получим:

, (2.27)

, (2.28)

Из уравнения можно сделать вывод о том, что присутствует падающая волна напряжения, (линия работает в режиме бегущей волны): Z_вх = Z_в.

Электрически длинная линия.

Электрически длинной линией называют величину или и считают, что  20 дБ, то = 20, т.е. ослабление в 10 раз. Линия при таких параметрах является электрически длинной.

Поскольку затухание велико, то отраженная волна в такой линии практически при любой нагрузке до начала линии не доходит, т.е. можно не считаться с отраженной волной в начале линии, тогда

, (2.29)

где и стремятся к нулю.

В результате мы получим

. (2.30)

Поскольку модуль достаточно не большой, то можно полагать что:

sh   ch    , т.к. можно пренебречь. Тогда основное уравнение линии имеет вид:

, (2.31)

. (2.32)

Если Z_вх записать в соответствии с полученными формулами, то получим:

. (2.33)

Электрически короткая линия.

Электрически короткая линия – это линия, у которой значение l очень мало.

 . (2.35)

При этом необходимо учитывать:

1.  – мало, а – не очень мало или

2.  – стандартное, а – мало.

Это особенность электрически короткой линии:

: (2.36)

. (2.37)

Уравнения для напряжения и тока выглядят следующим образом:

; (2.38)

. (2.39)

Волновое сопротивление равно:

; (2.40)

; (2.41)

Z_в = Z_л; (2.42)

( )²= Z_лY_л; (2.43)

. (2.44)

Теперь, учитывая все выше перечисленные соотношения, запишем уравнения для напряжения и тока:

; (2.45)

. (2.46)

Уравнения (1.85) более просты в использовании:

1. Здесь входят обобщенные параметры Z_л и Y_л, которые в случае электрически короткой линии не трудно измерить.

2. Уравнения являются алгебраическими, не содержат сложных функций ch и sh.

3. Нет необходимости иметь первичные и вторичные параметры линии.

. (2.47)

Существует в теории коротких линий некоторые соотношения:

 1;  ;  1; (2.48)

Z_вх=Z_н. (2.49)

Вывод: означает, что на физические процессы в такой системе сама линия практически влияния не оказывает (т.е. все процессы определяются величиной и характером нагрузки).