7.8 Вычисление определенных интегралов

Формула НьютонаЛейбница

Теорема 1. Если существует непрерывная функция такая, что , то

.

(обратите внимание на символику: символ означает разность ).

Эта формула носит название формулы НьютонаЛейбница.

Доказательство

Как и при построении понятия определенного интеграла, разобьем отрезок произвольным образом на части (кусочки) точками (см. рисунок).

Тогда имеем

.

После предельного перехода , получим

. 

Непрерывность обязательна!

Формула НьютонаЛейбница устанавливает связь определенного и неопределенного интегралов: ведь есть не что иное, как первообразная функции . Ее можно записать и так:

.

Обобщенная формула НьютонаЛейбница

Теорема 2. Пусть всюду, за исключением конечного числа точек . Тогда

.

Эта формула носит название обобщенной формулы НьютонаЛейбница.

Доказательство.

Имеем

.

Но, по первой теореме о среднем,

.

Поэтому

. 

Интегрирование определенных интегралов по частям

Вспомним формулу интегрирования неопределенных интегралов по частям

.

Переходя к определенным интегралам, получим:

.

Итак

.

Эта формула носит название формулы интегрирования определенных интегралов по частям.

7.9 Замена переменных в определенном интеграле

Теорема. Пусть

1. Интегрируема на ;

2. функция монотонно возрастает и , ;

3.  .

Тогда .

Обратите внимание на пределы интегрирования во втором интеграле.

Доказательство.

Разобьем отрезок на кусочки точками (см. рис.) и пусть . Тогда отрезок также разобьется на кусочки точками , причем и .

Рассмотрим величины . Для них, используя формулу Лагранжа, имеем

,

где .

Как говорилось в определении понятия определенного интеграла, предел интегральной суммы не должен зависеть от выбора средней точки. Возьмем поэтому . Тогда для интегральной суммы получим

.

Проделаем теперь предельный переход при . В силу равномерной непрерывности функции на отрезке , при этом будет и . Мы получим

, что и дает формулу

. 

Обратите внимание на следующие моменты:

1. В отличие от неопределенного интеграла здесь нет возврата к переменной х.

2. Но зато во втором интеграле стоят другие пределы! И это есть тот момент, о котором студенты, решая задачи, часто забывают. Так что НЕ ЗАБЫВАЙТЕ МЕНЯТЬ ПРЕДЕЛЫ!

Пример.

Вычислим . Для этого сделаем замену переменных . Тогда .

А теперь заменим пределы интегрирования. Имеем

при ;

при .

Поэтому .

7.10 Определенный интеграл как функция верхнего предела

Прежде, чем приступить к изучению данного раздела, обратите внимание на следующее:

1. Неопределенный интеграл это функция от х, а определенный интеграл  это число.

2. Значение определенного интеграла не зависит от того, какой буквой обозначена переменная интегрирования, то есть . Поэтому если в процессе выкладок переменная интегрирования вдруг будет обозначена другой буквой  не пугайтесь, это совершенно все равно.

Объектом исследования данного раздела является определенный интеграл с переменным верхним пределом

,

который представляет собой функцию от х.

Теорема 1. Пусть интегрируема на интервале . Тогда есть непрерывная функция на этом интервале.

Доказательство.

Так как интегрируема на интервале , то она ограничена на этом интервале, то есть существуют конечные т и М, такие, что . Тогда

Но, по первой теореме о среднем, , где . Тогда

и

,

что и говорит о непрерывности функции . 

Теорема 2. Пусть непрерывна на интервале . Тогда .

Доказательство.

В ходе доказательства теоремы 1 было получено соотношение

Но теперь непрерывна. Поэтому, по следствию из первой теоремы о среднем, мы можем записать:

,

где и при . Тогда имеем

,

,

и, наконец,

. 

Таким образом, у каждой непрерывной функции существует первообразная! Это устраняет одно сомнение относительно неберущихся интегралов. А вдруг они не берутся потому, что первообразной вообще не существует? Оказывается  нет, первообразная существует, просто она не относится к классу элементарных функций.

Замечание.

Рассмотрим , то есть определенный интеграл с переменным нижним пределом. Но так как , то этот объект немедленно сводится к предыдущему. Получаем:

1.   непрерывная функция;

2. если непрерывна на интервале , то .