7.3 Признак существования определенного интеграла
Теорема.
Для существования определенного
интеграла необходимо и достаточно,
чтобы
.
Доказательство.
Необходимость.
Пусть существует
.
Это значит, что
.
Но тогда, учитывая, что и , можем записать
,
откуда следует, что
,
и, в силу произвольности , это и означает, что .
Достаточность. Пусть . Это означает, что
.
Но
,
откуда следует, что
.
Так как
сколь угодно мало, то это означает, что
.
Далее имеем
,
;
следовательно,
,
и, в силу произвольности ,
это означает, что существует
.
Другая форма записи этого условия
|
Величина
|
носит название колебания
функции
на отрезке
.
Ее можно записать и так
.
Тогда
,
и условие теоремы принимает вид
.
7.4 Классы интегрируемых функций
Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.
Доказательство.
Если функция непрерывна на отрезке , то она, по теореме Кантора, равномерно непрерывна на этом отрезке. В обозначениях этой главы, это означает, что
.
Возьмем любое
.
Тогда
и мы получаем
и, в силу произвольности , отсюда следует, что .
Теорема 2. Если функция ограничена на отрезке и имеет на нем лишь конечное число точек разрыва, то она интегрируема на этом отрезке.
Доказывать эту теорему мы не будем.
Теорема 3. Если функция монотонна и ограничена на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.
Доказательство.
Пусть, для
определенности функция
монотонно возрастает.
Возьмем
произвольное
и положим
.
Разобьем весь отрезок
на кусочки, длина каждого из которых
будет меньше .
Тогда на кусочке
будет
и мы получим
,
и, в силу произвольности , отсюда следует, что .
7.5 Свойства интегрируемых функций
1. Если функция
интегрируема на
,
то функция
также интегрируема на
.
Пусть
есть колебание функции
на отрезке
.
Тогда ее интегрируемость на отрезке
означает, что
.
Пусть далее
есть колебание функции
на отрезке
.
Тогда имеем
,
и поэтому
,
откуда и следует интегрируемость функции на .
2. Если функция
интегрируема на
,
то функция
также интегрируема на
.
Пусть есть колебание функции на отрезке . Тогда имеем
(воспользовались
неравенством
,
написанным в обратном порядке) и поэтому
,
откуда и следует интегрируемость функции на .
3. Если функции
и
интегрируемы на
,
то функция
также интегрируема на
.
Пусть
и
есть колебания функций
и
на отрезке
соответственно. Тогда для колебаени их
суммы или разности имеем
(модуль суммы или разности не превосходит суммы модулей)
(супремум суммы не превосходит суммы супремумов). Поэтому
откуда и следует интегрируемость функции на .
4. Если функции
и
интегрируемы на
,
то функция
также интегрируема на
.
Вспомним, что пока
мы умеем интегрировать только ограниченные
функции. Это значит, что
и
.
Тогда имеем
,
,
и для колебания
функции
на отрезке
имеем
и поэтому
,
откуда и следует интегрируемость функции на .
5. Если функция интегрируема на , то она интегрируема на любой части этого промежутка.
Пусть отрезок
разобьем отрезок
на кусочки, так, чтобы точки с
и d
оказались в числе точек деления (см.
рис.).
Тогда имеем
,
что и доказывает
интегрируемость
на отрезке
.
6. Если отрезок и функция интегрируема на каждой из частей, то она интегрируема и на .
Пусть отрезок разбит на две части точкой с (см. рис.).
Разобьем отрезок
на части так, чтобы точка с
вошла в число точек деления. Если функция
интегрируема на отрезках
и
,
то это значит, что
и
.
Но тогда
,
что и доказывает
интегрируемость
на отрезке
.