3. Функциональная схема подвески
Контакт шин с неровностями дороги считаем точечным, а сами шины рассматриваем как упруго-диссипативную систему с коэффициентами радиальной жесткости Cn и неупругого сопротивления Kn.
В качестве эквивалентной системы подрессоривания рассматриваем плоскую динамическую систему более простой двух массовой модели динамики вертикальных движений колёсной машины с линейной подвеской.
Рис. 1. Функциональная схема, соответствующая эквивалентной схеме подрессоривания автомобиля (а), объединяющая подвески левого и правого переднего (заднего) моста: Mp – подрессоренная масса; Mn – неподрессоренная масса; q – перемещение пятна контакта колеса с дорогой.
4. Математическая модель вертикальных колебаний колесной машины с линейной подвеской и упругими шинами
Полную математическую модель рассматриваем как совокупность двух моделей: модель микропрофиля дорог и модель подвески колёсной машины.
4.1 Математическая модель подвески колёсной машины
Полагая амплитуды колебаний подрессоренной и неподрессоренной масс малыми, для получения уравнений движения системы используем уравнение Лагранжа второго рода.
Дифференциальное уравнение вертикальных колебаний неподрессоренной массы
,
(1)
где Mn, Mp – соответственно неподрессоренная и подрессоренная масса; Zn, Zp – перемещения соответственно неподрессоренной и подрессоренной масс; Cn, Cp – коэффициенты жёсткости соответственно шины и упругих элементов подвески; Kn, Kp - коэффициенты трения соответственно шины и амортизаторов подвески; q – вертикальное перемещение пятна контакта колеса с дорогой (кинематическое возмущение со стороны дороги на шину колеса).
Дифференциальное уравнение вертикальных колебаний подрессоренной массы
.
(2)
Интегрируя систему уравнений (1) и (2), получаем, вертикальные перемещения во времени t кузова и мостов колесной машины при соответствующих кинематических воздействиях q(t).
Параметры математической модели:
Mp = 806 - подрессоренная масса автомобиля, кг;
Mn = 70 - неподрессоренная масса автомобиля, кг;
Cp = 62000 - коэффициент жесткости упругого элемента подвески, Н/м;
Cn = 380000 - коэффициент жесткости шины колеса, Н/м;
Kp = 2000 - коэффициент трения амортизатора подвески 2000-4000, Н·с/м;
Kn = 60 - коэффициент трения шины колеса, Н·с/м;
V = 10 - скорость движения автомобиля, м/с.
4.2 Математическая модель микропрофиля дорог
При исследованиях плавности хода автомобиля наиболее часто используется описание свойств случайных процессов посредством спектральной плотности. Спектральная плотность характеризует распределение дисперсий случайного процесса по частоте. Для микропрофиля дороги она дает представление о частоте повторения длин неровностей и выражается зависимостью плотности дисперсии Gq от путевой частоты λs.
На рисунке показаны характерные зависимости Gq(λs). Графики спектральных плотностей на этом рисунке соответствуют графикам корреляционных функций. Путевая частота λs, обратно пропорциональна длине неровностей l.
Спектральная плотность Gq(λs) и корреляционная функция Rq(xs) взаимосвязаны преобразованием Фурье
∞
Gq(λs) = 2/π∫Rq(xs)cosλsxsdxs. (3)
0
Формулы для вычисления спектральной плотности ординат микропрофиля Gq(λs), соответствующие аппроксимирующим выражениям корреляционной функции Rq(xs):
α2 + β2 + λs2
Gq(λs) = 2Dqα──────────────; (4)
(λs2 – α2 – β2)2 + 4α2λs2
Значения параметров корреляционных функций микропрофилей для некоторых видов дорог взяты по рекомендациям работы [ ].
При моделировании на ПЭВМ случайные сигналы, имеющие заданную спектральную плотность, получают с помощью программы генератора «белого шума». Для получения сигнала с заданной спектральной плотностью сигнал снимают с генератора «белого шума» и пропускают через программу - формирующий цифровой фильтр, по следующему уравнению:
Sx(ω) = |Wf(s)|2 ∙Sc(ω), (5)
где |Wf(s)|2 – квадрат модуля передаточной функции формирующего фильтра; Sc(ω) - спектральная плотность генератора «белого шума».
При моделировании показателей плавности хода колёсной машины с линейной подвеской использована следующая математическая модель спектральной плотности дороги:
k1·(λ2 + k22)
Sq(λ) = ——————————. (6)
V·(λ2 + k32)·(λ2 + k42)
√(k1·V)·s + k2·√(k1·V3)
W(s) = —————————————————. (7)
s2 +V·√((2·k3·k4+k32+k42))·s+ k3·k4·V2
Таким образом, получено аналитическое выражение фильтра в операторной форме типа передаточная функция, которое используется в математической модели микропрофиля дорожного покрытия с заданной спектральной плотностью.