§ 3. Проблема эмпирического обоснования геометрии

3.1. Геометрия и априоризм

Геометрия явилась одной из важных предпосылок возникновения априористских концепций научной истины. Аксиоматическое построение геометрии и связанная с этим ее относительная автономия от опыта порождали видимость того, что геометрия развивается «из самой себя» и ее истинность совершенно не связана с эмпирическими данными. Для сторонников априоризма геометрия служила образцом .априорного знания.

Возможность истолкования геометрии в духе априоризма отмечалась еще Платоном. По мнению Платона, геометрические идеи составляют часть наиболее фундаментального уровня бытия — мира эйдосов. Человеческая душа, пребывающая до рождения человека в этом мире, непосредственно созерцает и запоминает их. В дальнейшем, став частью человека, она начинает их припоминать. Геометрическое знание, с точки зрения Платона, не нуждается в эмпирических данных ни в качестве предпосылок для его формулировки, ни в качестве критерия для его проверки.

Декарт усматривал причину априорности геометрии в том, что ее аксиомы имеют самоочевидный характер. Именно в силу этого обстоятельства они не нуждаются ни в логическом доказательстве, ни в эмпирическом обосновании. Опыт не может служить средством проверки положений геометрии потому, что он неточен и расплывчат, в то время как геометрические теоремы представляют собой точные истины. По мнению Юма, априорность

165

геометрии основывается не только на интуитивной очевидности ее аксиом, но и на их логической необходимости. Эта необходимость проявляется в том, что отрицание положений геометрии приводит к логическим противоречиям, которые свидетельствуют о невозможности утверждений, противоположных этим положениям. Кант рассматривал идею необходимости как главную причину, обусловливающую априорный характер геометрии. Однако он придал ей новый оттенок. Необходимость эвклидовой геометрии обусловлена, по Канту, не столько ее внутренней логической непротиворечивостью, сколько интуитивной способностью человека наглядно представить построения только этой геометрии.

Создание в XIX в. неэвклидовых геометрий нанесло удар по тем формам априоризма, которые опирались на эвклидову геометрию. Это открытие показало, что эвклидова геометрия не является единственно мыслимой и возможной концептуальной системой. Отрицание пятого постулата геометрии Эвклида — постулата о параллельных, замена его противоположными постулатами привело к созданию других геометрий, которые были также внутренне непротиворечивыми. Это означало, что эвклидова геометрия не обладает логической необходимостью в смысле Юма'; открытие же «наглядных» интерпретаций неэвклидовых геометрий2 свидетельствовало о том, что эвклидова геометрия не является необходимой и в смысле Канта. Отрицание обеих форм необходимости в ходе развития науки, по существу, подорвало основы априористских концепций Юма и Канта.

Но создание неэвклидовых геометрий не устранило априоризм как таковой. Наоборот, оно послужило предпосылкой для появления новой формы априоризма, тесно связанной с конвенционализмом. Априоризм этого рода возник при рассмотрении вопроса о том, какая из геометрий соответствует реальному миру.

Уже создатели неэвклидовых геометрий задумывались над вопросом о геометрии пространства реального мира. Этот вопрос оказался непростым ввиду того, что, как вскоре было установлено, пространство может быть опи-

' Логическая необходимость в понимании Юма исключала возможность логически независимых положений дедуктивной системы.

2 Эти «наглядные» интерпретации являются объектами эвклидовой геометрии, например: псевдосфера, круг Клейна, полуплоскость Пуанкаре.

166

сано на языке различных метрических геометрий. Выражением сложности данной проблемы явился геометрический конвенционализм — гносеологическая концепция, согласно которой ни одна геометрия не является более истинной, чем другая, и вопрос о выборе геометрического описания реального мира зависит исключительно от соглашений. Чтобы лучше понять гносеологические корни конвенционализма и его связь с априоризмом, рассмотрим данную проблему подробнее.

В рамках чистой математики геометрия может рассматриваться как формально-аксиоматическая система. В этом случае ее первичные понятия — «точка», «прямая», «плоскость», «лежать на», «находиться между», «быть конгруэнтным» — не имеют специфического для геометрии пространственного значения. Их содержание определяется формальной структурой аксиом. В качестве интерпретаций геометрических понятий, а следовательно, и составленных из них аксиом могут фигурировать не только пространственные объекты, но и объекты арифметики, логики, социологии и пр. Таким образом, геометрия лишь при определенных частных интерпретациях является наукой о пространственных отношениях.

Геометрические аксиомы и теоремы, если их рассматривать как элементы неинтерпретированной, т. е. формальной, системы, сами по себе не истинны и не ложны. Однако после интерпретации на соответствующих моделях они могут превратиться в истинные утверждения той или иной отрасли знания. Если геометрия интерпретирована на пространственных физических объектах, то она превращается в систему истинных утверждений об этих объектах.

Мы можем говорить о данной геометрии как истинной в том смысле, что она правильно описывает пространственные построения. Представим себе плоскость и геометрические построения на ней —окружности, треугольники и т. д. Мы можем сказать, что эвклидова геометрия как определенная концептуальная система правильно описывает геометрические построения на плоскости. Таким образом, если мы отойдем от формально-аксиоматической трактовки геометрии и будем рассматривать ее как некоторую содержательную теорию, то, казалось бы, мы можем доказать описательную истинность одной из геометрий, а значит, и ее преимущества перед другими геометриями. Однако более глубокий анализ показывает, что и

167

в данном случае истинность одной из геометрий для конкретного типа пространства не влечет автоматически ложности других.

Конечно, плоскость можно представить двухмерным эвклидовым пространством, объекты которого описываются эвклидовой геометрией. Однако такое представление не безусловно. Оно основывается на гипотезе, отказ от которой делает его неверным. Представим себе внутреннюю область круга на плоскости (для этого отвлечемся от всех Точек окружности). Тогда, если принять соответствующее правило измерения расстояний между точками хорд круга, эта область может рассматриваться как плоскость, имеющая геометрию Лобачевского. Наше правило, грубо говоря, заключается в том, что измерительный эталон, перемещаемый вдоль хорды, уменьшается по мере приближения к окружности. В результате мы можем уложить'вдоль хорды бесконечное число эталонов, и она относительно введенного способа измерения окажется бесконечной. Хорды можно рассматривать тогда как бесконечные прямые. Для нашего круга мы сможем осуществить также следующее построение: через точку, лежащую вне данной прямой, проведем множество не пересекающих ее прямых. Такое построение будет означать реализацию неэвклидова постулата о параллельных.

Изложенный способ измерения основан на «необычном» правиле, определяющем конгруэнтность, т. е. равенство, отрезков. Наблюдатель, принимающий эвклидов критерий конгруэнтности, может заключить, что измерительный эталон, перемещающийся вдоль хорды, испытывает сокращение, т. е. не является самоконгруэнтным. Однако другой наблюдатель, принимающий неэвклидову метрику, сочтет его самоконгруэнтным, т. е. не изменяющим своей длины при перемещении. Равенство или неравенство двух пространственно разделенных отрезков определяется на основе не просто измерения, но измерения, опирающегося на определенные правила конгруэнтности.

Выбор правил конгруэнтности играет существенную роль в решении вопроса о геометрии пространства. Без уточнения того, какое условие определяет равенство двух расположенных в разных местах пространства отрезков, утверждение о типе геометрии пространства не имеет смысла. Данное пространство имеет определенную геометрию лишь по отношению к некоторым фиксированным правилам конгруэнтности.

168

Таким образом, в решении вопроса об истинности данной геометрии существенную роль играют конвенции. Сюда относятся, во-первых, семантические конвенции, приписывающие аксиомам геометрии собственно геометрическое значение. Во-вторых, даже после того, как аксиомы геометрии получили определенное семантическое значение и превратились в описание структуры пространства, остается возможность выбора правил конгруэнтности, которые и определяют тип геометрии, реализующейся в данном пространстве.

Все же надо заметить, что упомянутые конвенции не приводят автоматически к конвенционализму, если под последним понимать философскую альтернативу учения об объективности истины. Они имеют внутринаучное значение и относятся к описанию геометрических свойств абстрактных пространств в рамках чистой геометрии. Но система чистой геометрии сама по себе еще ничего не говорит о реальном мире независимо от того, пользуется она конвенциями или нет. Чтобы решить вопрос об отношении геометрии к реальному миру, необходимо перейти от чистой, т. е. абстрактной, математической, геометрии к физической геометрии, понятия которой получают физическую интерпретацию.

Переходя от абстрактной геометрии к физической, мы, казалось бы, находим путь решения проблемы отношения геометрии к реальному миру. Решить ее должны опыты с физическими объектами, служащими интерпретацией геометрических понятий. Однако проблема отношения геометрии как концептуальной системы к реальности и ее эмпирического обоснования оказалась значительно сложнее, чем это можно было предположить вначале. Сложность этой проблемы была вскрыта А. Пуанкаре, но он решил ее в духе конвенционализма и априоризма.