Физический смысл и нормировка волновой функции.

Прежде чем установить вид оператора в основном уравнении квантовой механики , следует выяснить физический смысл волновой функции .

С чисто корпускулярной точки зрения представляет собой аналитическое выражение, описывающие поведение микрообъекта при тех или иных фиксированных внешних условиях.

Пусть имеется поток микрочастиц. Если в элементе объёма вблизи точки с радиусом-вектором в момент времени находится частиц то мерой интенсивности этого потока в данный момент может служить плотность частиц.

(1)

Т.к. этот поток обладает волновыми свойствами, то мерой его интенсивности должен быть квадрат амплитуды его волны (при этом , где - фаза волновой функции).

Если частицы взаимно независимы, то суммарная волновая интенсивность будет определяться выражением.

(2)

Отсюда следует, что вероятность нахождения одной микрочастицы в объёме в момент времени .

(3)

а плотность вероятности

(4)

Таким образом, квадрат модуля волновой функции определяет плотность вероятности пребывания микрочастицы в данной точке пространства.

Такое вероятно-статистическое толкование волновой функции было предположено в 1927 М. Борном. Оказывается, что из экспериментальных данных статистически можно определить лишь , но не , т.е. волновая функция экспериментально определяется с точностью до произвольной фазы .

В связи со статистической трактовкой волновой функции естественно возникает вопрос об её нормировке. По теореме сложения вероятности альтернативных событий, вероятность найти микрочастицу в произвольном элементе объёма является достоверным событием и равна 1 (закон сохранения материи, т.е. в рассматриваемом случае данного микрообъекта)

(5)

Существует как меры интенсивности специфического микрополя. Сама также и полевое истолкование волновой функции микрочастица при этом представляет собой вторичное полевое образование - квант микрополя.

Изменение во времени средних значений и операторов физических величин .

В квантовой механике большой интерес представляет вопрос об изменении во времени среднестатистических значений физических величин , характеризующих микрообъект:

(1)

Найдём материальную производную от среднестатистического значения :

(2)

Учитывая, что , и , перепишем (2) в виде

(3)

Линейные операторы используемые в квантовой механике являются эрмитовыми, причём условием эрмитовости является следующие соотношение:

(4)

Положим , . Тогда:

(5)

С учётом (5)

(6)

Кроме того (7)

Использую (6) и (7), запишем (3) в виде

(8)

Оператор называется квантовыми скобками Пуассона. Выражение (8) представляет собой закон изменения во времени средне вероятного значения физической величины :

(8)

Рассмотрим частные случаи: - оператор коммутирует с оператором Гамильтона , т.е. . Тогда

(9) ;

- физическая величина явно не зависит от времени . Тогда

(10);

• операторы и коммутируют и физическая величина не зависит от времени. Тогда

(11),

т.е. физическая величина является константой (интегралом движения) и для неё имеет место закон сохранения средне вероятного значения . Очевидно (11) есть аналы классического закона сохранения величины . Только в отличие от классической физики сохраняется не сама величина , а её средне вероятное значение .

Аналогом соотношения (8) в классической механике является Эйлерово правило дифференцирования, связывающее материальную , локальную производные по времени и конвективное слагаемой

(12)

О соответсвии между основными соотношениями классической и квантовой механики.

Закон временного изменения физических величин в квантовой механике

(1)

позволяет установить соответствие между рядом соотношений классической и квантовой механики.

1. Пусть представляет собой координату микрообъекта, явно не зависящую от времени, т.к. для одного и того же момента времени может быть задана любой. Следовательно, . Поскольку , то

(2)

Вычислим скобки Пуассона, действующие на волновую функцию :

(3)

Преобразуем первое слагаемое

(4)

Поскольку , то выражение (4) упростится

(5)

Подставляя (5) в (3), получим

(6)

С учётом (6) выражение (2) пишется в виде

(7)

Но есть оператор составляющей скорости

(8)

Следовательно

(9)

В векторной записи

(10)

Т.о. классическое определение скорости в квантовой механике выполняется в среднем.

2. Положим - импульсу микрообъекта, считая его явно не зависящим от времени

Тогда для импульса:

(11)

Найдём вначале результат действия оператора на волновую функцию .

(12)

т.к. , где консервативная сила потенчеального поля , а

Подставлял (12) в (11), получим

(13)

Выражение (13) называется теоремой Эренфеста и представляет собой аналог основного закона классической механики – 2 закон Ньютона.

(14),

с той разницей, что в квантовой механике он выполняется в среднем.

Для свободного микрообъекта и (15)

Выражение (15) представляет собой закон сохранения импульса.

3. Положим -моменту импульса микрообъекта. Для стационарного состояния =0 и среднее изменение момента импульса с течением времени

(16)

Найдём выражение для квантовых скобок Пуассона , учитывая, что оператор момента импульса , а тогда: (17)

Проделаем преобразования в компонентной форме, учитывая, что: ,

.

Тогда: (18)

(19)

Учитывая (18) и (19) после элементарных преобразований получим из (17)

(20)

Применим оператор к волновой функции :

(21)

Таким образом, окончательно: (22)

Выражение (22) является аналогом основного закона динамики вращательного движения и также

Выполняется в квантовой механике в среднем в отсутствии главного момента внешних сил (например, в центральном силовом поле) имеет место закон сохранения момента импульса или (23)

Уравнение неразрывности в квантовой механике.

Основное уравнение квантовой механики-уравнение Шредингера –можно представить в виде:

(1)

его решение позволяет определить волновую функцию микрообъекта, находящегося во внешнем силовом поле.Однако, на опыте определяется не сама волновая функция, а квадрат её модуля -плотность вероятности обнаружение микрообекта в точке t:

(2).

С помощью уравнения (1) можно найти закон изменения плотности с течением времени, иначе говоря установить последовательные значения , образующие причинно-следственный ряд.

Запишем уравнение, комплексно сопряженное (1):

(3)

Умножим (1) на ,а (3) на получим:

(4)

(5)

Вычтем из (5) выражение (4) и разделим полученную разность на . Тогда получим:

(6)

Очевидно (7)

Учитывая ,что

,получим

(8)

Обозначим

(9)

и назовем эту величину плотностью тока вероятности .

Тогда с учетом (7),(8)и (9) выражение (6) можно переписать в виде:

(10)

Уравнение (10) называется уравнением неразрывности квантовой механики.

Поскольку оператор скорости ,то вектор связан со скоростью движения микрообъекта

(11)