§ 13.2. Квантовые статистики Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака.

Квантовой статистикой называется статистический метод исследования, применяемый к системам состоящим из большого числа микрообъектов. При этом тождественные частицы считаются неразличимыми. Основной задачей является задача о распределении частиц по координатам и скоростям. Её можно сформулировать как задачу о распределении микрообъектов по ячейкам фазового объёма шестимерного m-пространства координат-импульсов. Элемент “объёма” dG = dx dy dz dp_x dp_y dp_z. В силу соотношения неопределённостей Гейзенберга dxdp_x @ , поэтому dG @ ³. Состояние системы тождественных частиц не изменяется от перестановки частиц как внутри данной ячейки, так и между ячейками.

В квантовой механике из принципа неразличимости тождественных частиц вытекает существование двух типов волновых функций – симметричных и асимметричных. Первые не изменяют знака при перестановке любой пары частиц системы, вторые – меняют свой знак на противоположный.

Тождественные частицы, описываемые симметричной волновой функцией, называются бозонами. Для них проекция собственного механического момента на направление магнитного поля L_LsH равна нулю или чётному числу ± /2.

Тождественные частицы, описываемые асимметричной волновой функцией, называются фермионами. Для них L_LsH равно нечётному числу ± /2.

Принцип Паули д: в данной системе тождественных фермионов любые два не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии (т.е. в одной и той же ячейке фазового объёма).

Фермионы (электрон, мюон, кварки, протон, нейтрон, нейтрино и т.д.) подчиняются статистике Ферми-Дирака; бозоны (фотоны, гравитоны, бозонные резонансы, составные частицы из чётного числа фермионов и т.д.) – Бозе-Эйнштейна. Бозе Шатындрант (1894-1974) – индийский физик; 1924-1925 работал в Париже у М. Склодовской-Кюри; один из создателей статистики бозонов. Вывел закон Планка для теплового излучения.

Различия между статистиками Максвелла-Больцмана, Ферми-Дирака, Бозе-Эйнштейна понятны на примере подсчёта числа возможных состояний двух частиц (рис. 13.4).

Классическая статистика Максвелла-Больцмана (различимые частицы)

Квантовая статистика Ферми-Дирака (неразличимые частицы, подчиняющиеся принципу Паули)

Квантовая статистика Бозе-Эйнштейна (неразличимые частицы)

Ab

–

a

a

aa

–

–

ab

–

aa

A

b

a

a

B

a

4 состояния

1 состояние

3 состояния

Рис.13.4

Схема вывода функций распределения Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна следующая:

- методами комбинаторики находят термодинамическую вероятность состояния W­­_b – число способов, которыми N_i­­ неразличимых объектов можно разместить по Z_i­­ ячейкам (состояниям с энергиями W_i);

- поскольку равновесное состояние является наиболее вероятным, методом неопределённых множителей Лагранжа находят экстремум функции ln W_b;

- после потенцирования полученных выражений приходят к искомым соотношениям.

Прежде чем записывать квантовые функции распределения, обобщим I начало термодинамики. Изменение внутренней энергии системы dU может происходить не только за счёт сообщения ей тепла dQ=TdS и совершения работы над системой dA=- pdV, но и в процессе массообмена с внешней средой:

dU = TdS - pdV + mdN. (13.13)

Величина m = (13.14) называется химическим потенциалом и представляет собой изменение внутренней энергии системы, приходящееся на одну частицу, при изохорно-изоэнтропийном процессе.

Можно показать, что функции распределения Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака имеют соответственно следующий вид:

f_M-Б (W) > 0,

, (13.15)

. (13.16)

Для бозонов f_Б-Э(W) > 0, для фермионов 0 £ f_Ф-Д(W) £ 1. Функции распределения в классической и квантовой статистике, введенные как среднее число частиц в данном энергетическом состоянии, могут быть выражены единой формулой:

(13.17)

Если W >> m и >>d , то квантовые статистики переходят в классическую, которую можно рассматривать как их предельный случай.

Газ называется вырожденным, если его свойства отличаются от свойств классического идеального газа. В вырожденном газе происходит взаимное квантово-механическое влияние частиц, обусловленное их неразличимостью. Степень вырождения характеризуют параметром вырождения A= , тогда:

. (13.18)

Если А<< 1, то /А<<1 и функция f_kв с точностью до множителя превращается в функцию распределения Максвелла f_M-Б : f_kв(W) @ А f_М-Б(W).

Сравнительно легко оценить температурный критерий вырождения газа. Вырождение обычных газов сказывается при низких температурах, что несправедливо для электронного и фотонного газа.

Параметр вырождения находится из условия нормировки функции распределения

, (13. 19) означающего сохранение в системе общего числа частиц:

. (13.20)

Условие малости вырождения: А<<1 .

На оси термодинамических температур существует некоторая температура вырождения Т_В , которая разделяет две области: вырожденного и невырожденного классического газа (рис.13.5).

Температурой вырождения Т_В называется температура, при которой вырождение становится существенным. Она определяется из условия А=1, откуда

. (13.21)

Т.o. температурный критерий вырождения имеет вид:

Т £ Т_В - система частиц вырождена и подчиняется

квантовым статистикам;

Т>>Т_В - система не вырождена и подчиняется

классической статистике.

Примеры:

а) фотонный газ, m = O, T_В ® ¥. Фотонный газ при любых конечных температурах является вырожденным.

б) электронный газ в металлах n_o@10²⁹ м^-3, Т_{В @}2×10⁴ К, m=9,1×10^-31 кг. Только при Т ® Т_в (т.е. выше десятков тысяч градусов Кельвина) электроны металла подчинялись бы классической статистике Максвелла-Больцмана. Но при таких температурах металл не может существовать в конденсированном состоянии. Классическое описание приводит в ряде случаев к противоречию с опытными данными.

в) электронный газ в полупроводниках, n_{o @} 10¹⁸м^-3, Т_В @ 10^-4К - электронный газ в полупроводниках является невырожденным и подчиняется классической статистике.

г) атомные и молекулярные газы. Для водорода при нормальных условиях ( Т @ 300К,n_{o @} 3 10²⁵м^-3) Т_B @ 1К; для более тяжелых газов Т_{B <} 1К. Газы при нормальных условиях не бывают вырожденными. Вырождение газов, связанное с их квантовыми свойствами, проявляется в меньшей степени, чем отклонение от идеальности, вызванное межмолекулярным взаимодействием.

Отличие свойств вырожденного электронного газа от обычного понятна на следующем примере. Невырожденный тем идеальнее, чем меньше потенциальная энергия взаимодействия его молекул по сравнению с кинетической, что наблюдается при малых плотностях газа. Потенциальная энергия взаимодействия электронов U= , где a - среднее расстояние между электронами a~ . Следовательно, U~ . Кинетическая энергия электронов E_k~ . Следовательно с ростом концентрации электронов Е_k растет быстрее, чем U. Поэтому электронный газ ближе к идеальному при больших концентрациях.