2. Основные методы интегрирования

1). Интегрирование путем подведения под знак дифференциала

На основании свойств неопределенного интеграла имеем:

(1)

где F(U) есть первообразная функции f(U).

Пример 1. Рассмотрим интеграл

Известно, что отсюда

Значит, наш интеграл преобразуется следующим образом:

Пример 2. Найти

Пример 3. Найти

2). Интегрирование по частям

Теорема 2.1

Если функции U(x) и V(x) дифференцируемы на интервале (а,b), то

(2)

(без доказательства).

Таким образом, вычисление сводится к вычислению , которое может оказаться более простым.

Пример 1. Вычислить .

Положим U=x, , тогда Константу С при определении функции мы опускаем, так как она входит в окончательный ответ dU=dx. Отсюда по формуле (2) имеем

Пример 2. Вычислить интеграл

Пусть U=х, dV=sinxdx, тогда dU=dx, Применим к исходному интегралу формулу интегрирования по частям

Метод интегрирования по частям применяют при вычислении следующих интегралов:

1)

где P_n(x) – полином степени n

В этих интегралах за U(x) принимается P_n(x) и интегрируют по частям n раз.

Пример 3. Применим рассмотренный метод для вычисления интеграла Примем тогда

Окончательно получаем

2)

В этих интегралах dV принимается

Пример 4. Вычистить по частям интеграл Сделаем предварительные преобразования, тогда

отсюда

Пример 5. Аналогично вычисляется такой интеграл . После преобразований: , получаем

3) .

В этих интегралах, выбор U(x) произволен. Дважды интегрируем по частям. Оба раза за U берем одно и то же. Интеграл сводится к самому себе.

Пример 6. Так в интеграле , примем .

Используя формулу интегрирования по частям (2), имеем

.

Ко второму интегралу повторно применим формулу (2), положив .

Тогда и

Таким образом наш интеграл свелся к самому себе. Разрешим последнее соотношение относительно J₆

или

Замечание. В рассмотренном примере в ответе следовало бы писать константу С₁, так как С₁=4/29 С. Однако константы С и С₁ являются произвольными постоянными величинами, поэтому мы не будем вводить дополнительные индексы. Конечно, указанные группы интегралов не исчерпывают всех, которые можно вычислять по формуле (2).

3). Интегрирование рациональных функций

Рациональной функцией R(x), называется функция, равная отношению двух многочленов:

где m, n – целые положительные числа, b_i, a_j – вещественные числа, (i=0,…,m; j=0,…,n).

Если m<n, то R(x) называется правильной дробью, если m≥n неправильной дробью.

Всякую неправильную дробь путем деления числителя на знаменатель можно представить в виде суммы некоторого многочлена и правильной дроби:

где - многочлены; - правильная дробь; l<n.

Пример 1. Рациональная функция является неправильной дробью. Разделив ее числитель на знаменатель (по правилу деления многочленов), получим

Так как всякий многочлен легко интегрируется, то интегрирование рациональных функций сводится к интегрированию правильных дробей.

Простейшей дробью называется дробь одного из четырех типов:

где А, а, М, N, р, q - вещественные числа, k - натуральное число (k≥2); p²-4q<0.

Теорема. Всякую правильную рациональную дробь можно разложить на сумму простейших рациональных пробей.

Пример 2. Найти .

Разложим правильную рациональную дробь, стоящую под знаком интеграла, на сумму простейших

(1)

Для того чтобы определить коэффициенты А, В и С, приведем дроби, стоящие в правой части равенства (1), к общему знаменателю. Он совпадет со знаменателем дроби, стоящей в левой части равенства (1). Чтобы равенство было верным, приравняем числители этих их дробей:

(2)

Так как тождество (2) должно выполняться для любого х, то зададим аргумент - следующие значения:

пусть x=1, то тождество (2) примет вид -1=-В, следовательно, В=1;

пусть x=2, то тождество (2) примет вид 1=2C, следовательно, ;

пусть x=0, то тождество (2) примет вид -3=2A, следовательно, ;

Подставим найденные коэффициенты в равенство (I), получаем

Теперь вычислить исходный интеграл не составляет труда.