3Адание 3. Производная функции по направлению

Производная функции по направлению называется предел отношения приращения функции при переходе от точки к точке при условии, что , к , если этот предел существует и конечен, то есть

Градиентом функции в точке называется вектор

Связь между градиентом функции в точке и производной этой функции в точке в направлении :

где - угол между градиентом и направлением .

Пример. Найти производную функции в точке в направлении, составляющем угол с градиентом функции в этой точке.

Тогда

Задание 4. Экстремум функции двух переменных

Необходимый признак экстремума. Если функция z=f(x,y) дифференцируема при x=x₀ и y=y₀ достигает в ней экстремума, то в этой точке равны нулю ее частные производные:

Достаточное условие экстремума. Пусть точка М₀(x₀,y₀) является стационарной точкой функции z=f(x,y). Вычислим в этой точке значения вторых частных производных функции f(x,y) и обозначим их для краткости буквами А, В, С:

Если В²-AC<0, то функция f(x,y) имеет в точке М₀(x₀,y₀) экстремум: максимум при А<0 (и С<0) и минимум при А>0 (и С>0).

Если В²-AC<0, то точка М₀(x₀,y₀) не является точкой экстремума.

Если В²-AC=0, то никакого заключения о характере стационарной точке сделать нельзя и требуется дополнительное исследование.

Пример. Найти экстремум функции

M(21,20) – стационарная точка

Найдем значения вторых производных в точке М:

т.к. А<0, то в точке М(21,20) функция имеет максимум Z_max=482.

Контрольная работа № 2

1. Найти производные следующих функций:

1. a). b). c).

2. a). b). c).

3. a). b). c).

4. a). b). c).

5. a). b). c).

6. a). b). c).

7. a). b). c).

8. a). b). c).

9. a). b). c).

10. a). b). c).

11. a). b). c).

12. a). b). c).

13. a). b). c).

14. a). b). c).

15. a). b). c).

16. a). b). c).

17. a). b). c).

18. a). b). c).

19. a). b). c).

20. a). b). c).

2. Исследовать методами дифференциального исчисления и построить графики функции:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

III. Найти производную функцию в точке в направлении, составляющем угол с градиентом функции в этой точке.

IV. Найти экстремумы функции Z=f(x,y)