§3. Информационный подход к оценке случайной погрешности

Информационный подход к оценке случайной погрешности заключается в том, что прибор оценивается по количеству информации, которую получают при измерениях, так как измерение это процесс получения информации. Чем больше информации получают при измерениях, тем более точен прибор.

Основные понятия из теории информации К. Шеннона:

Энтропия — мера неопределенности любой системы (до измерения). Для дискретной величины x она имеет вид

После измерений мера неопределенности уменьшается и определяется погрешностью измерения, ее называют условной (остаточной) энтропией, т. е. энтропия случайной величины х при известной измеренной величине Хизм - Н(х/Хизм).

Информация. Понятие энтропии позволяет найти численное значение количества информации, полученное в процессе одного или серии измерений как

разность энтропий до и после измерения дает количество информации, получаемое в процессе измерения

I(х/Хизм) = H(х)-Н(х/Хизм).

Если х непрерывна, то используется формула для вычисления энтропии непрерывной величины:

После измерения остаточная энтропия результата измерения имеет вид

и полностью определяется погрешностью измерения.

Единицы измерения информации зависят от основания логарифма в приведенных выше формулах. Используются следующие единицы измерения:

диты - если используется десятичный логарифм (а=10); биты - если используется двоичный логарифм (а=2); ниты - если используется натуральный логарифм (а=е=2,71).

Энтропийная погрешность. Понятие энтропийной погрешности введено Н. П. Новицким. Для определения энтропийной погрешности остаточная энтропия умозрительного прибора с равномерным законом распределения погрешностей, приравнивается к остаточной энтропии, которая эквивалентна энтропии исследуемого измерительного прибора, т. е.

Поскольку , то , откуда

,

где — энтропийная погрешность.

ЛЕкция 5 §4. Оценка погрешности по результатам измерений

Прямые равноточные измерения. Пусть в результате проведения n измерений получены следующие результаты: X1,X2,. . . ,Xn. После этого вычисляется среднее арифметическое:

Находится несмещенная оценка средней квадратической погрешности.

Далее - оценка среднего квадратического отклонения среднего арифметического:

Для закона ”трех сигм” . Видно, что при результат измерения записывается в виде:

Прямые неравноточные измерения. Если измерения неравноточные, то обработка результатов производят следующим образом.

Пусть проведено n серий измерений, в каждой, в каждой серии - различная точность измерений. Получены следующие результаты серии измерений:

1 серия — X1, _1, 2 серия — Х2, _2, 3 серия — Х3, ₃ n серия — Хn, _n

Результат измерений находится по формуле Pi - весовой коэффициент i-ой серии.

Существует несколько методик определения весовых коэффициентов.

Первая методика. Весовые коэффициенты находятся из соотношения между среднеквадратическими отклонениями в сериях:

P1 : Р2 : P3 : . . . : Рn =1/ : 1/ : l/ : … : l/ ;

Коэффициент для серии, имеющей меньшую среднеквадратическую погрешность больше коэффициента серии с большей погрешностью.

Вторая методика. Для серий, число измерений n в которых различно, а точность измерений не известна, весовые коэффициенты находятся из соотношения:

P1 : Р2 : P3 : . . . : Рn = m1 : m2: m3 : . . . : mn

где m - число измерений в серии.

Третья методика. Метод экспертных оценок, при которых значимость результатов каждой серии определяют эксперты.

Косвенные измерения. Если конечный результат измерений величины У связан функционально с измеряемыми величинами хi, то погрешность находится по формуле, известной как закон накопления погрешности:

Под погрешностью понимается как случайная, так и систематическая погрешности.

Суммирование погрешностей. При суммировании погрешностей необходимо соблюдать следующие правила:

1. Отделить систематические погрешности от случайных . Для систематических погрешностей определить их знаки. Вычислить суммарную систематическую погрешность (суммирование производится с учетом знака) .

2. Определить наличие зависимых случайных погрешностей, т. е. погрешностей, связанных друг с другом корреляционными связями (т. к. поиск коэффициентов корреляции сложная задача, то ему придают значения: 0,-1,+1). После выделения пар коррелированных случайных погрешностей для каждой пары находят общую погрешность:

Величина представляет собой среднее квадратическое значение или 3 .

3. Производится вычисление суммарной погрешности измерений по формуле:

. , . -некоррелированные случайные погрешности,

погрешность коррелированных случайных погрешностей ,.

Если неизвестны коэффициенты корреляции случайных погрешностей и знаки систематических погрешностей, то суммирование осуществляется без их учета, а результат представляет собой максимальную оценку погрешности.