2 Основные типы приближений

Как правило, даже корректно поставленные задачи математической физики остаются достаточно сложными и не всегда целесообразно полностью проводить решение такой системы. Во многих случаях достаточно решения более простой задачи, поскольку точность этого решения на практике ограничивается точностью вводимых параметров, а не точностью математического приближения.

В настоящее время в литературе и на практике используются три типа стандартных приближений, которые можно классифицировать следующим образом:

1. Равновесное (квазиравновесное) приближение. В этом случае полагают, что система в каждый момент времени находится в термодинамическом равновесии и изменяется скачком, при этом изменение невелико. При этом пренебрегают всеми потоками внутри системы. Как, следствие этого от системы остается только набор краевых условий. При этом можно получать довольно точные оценки динамики системы, если помимо интегральных характеристик рассматривать изменение первых частных производных

2. Диффузионное приближение. Это приближение, которое предполагает, что различные диффузионные потоки действуют независимо друг от друга (пренебрегаем перекрестными членами вторых производных ). В этом случае полную систему уравнений можно разделить на несколько более простых систем, описывающих или процесс тепла или процесс диффузии. Диффузионное приближение условно можно разделить на две части: аналитическое (если уравнение в частных производных можно решить в аналитическом виде) и численное (если уравнение решается численным образом).

3. Моделирование сильно неравновесных процессов, при котором взаимодействие потоков настолько велико, что уравнение, в основном, имеют векторный или тензорный вид, и только в некоторых случаях в некоторых отдельных областях заменяются аналитическим или диффузионным приближением.

Рассмотрим эти приближения более подробно.

2.1. Равновесное приближение

Равновесное приближение выполняется обычно в двух случаях:

а) Твердое тело неподвижно, или, другими словами находится в неподвижном состоянии. В таких случаях состояние системы описывается уравнениями механического равновесия.

б) Система, как правило в жидком или газообразном состоянии находится в фазовом равновесии и не имеет диффузионных макро потоков частиц внутри [ ] В этом случае , состояние системы описывается уравнениями постоянства химического потенциала.

К таким приближениям близко примыкает приближение , описывающее стационарные состояния, т. е. такие состояния, в которых пара­метры, их определяющие, не зависят от времени, играют важную роль в практических приложениях. Как правило, все эти разновидности лежат в основе моделирования медленно протекающих процессов.

2.1.1 Механическое равновесие

Состояние механического равновесия есть состояние, в котором ускорение dv/dt равно нулю. Мы интересуемся такими состояниями механического равновесия, в которых не только ускорения равны нулю, но и пренебрежимо малы градиенты скоростей, а, следовательно, мал и вязкий тензор давлений П.

Для таких состояний уравнение движения (2.19) принимает вид:

0=:-grad p + (2.1)

В ряде важных случаев состояние механического равновесия, описываемое уравнением (2.1), действительно устанавливается за время, значительно меньшее времени, характерного для термодинамических процессов. Таким образом, фактически это состояние достигается уже к началу исследуемых необратимых процессов. Для более общих случаев это утверждение не всегда справедливо: все зависит от конкрет­ной физической ситуации. Можно представить себе, например, осциллирующие системы, в которых ускорение все время отлично, от нуля. Однако, например, для явлений диффузии или термодиффузии в замкнутых сосудах вполне разумно предполагать, что в хорошем приближении состояние механического равновесия, описываемое урав­нением (2.1), быстро реализуется. В диффузионных экспериментах ускорение dv/dt может быть отличным от нуля, например, в том случае, когда молекулярные массы участвующих в процессе компо­нентов имеют разную величину. Однако это ускорение очень мало и возникающие градиенты давления (если предположить отсутствие внешних сил) также пренебрежимо малы. Налагаемая в начальный момент разность давлений также приведет к появлению ускорений, но они исчезнут вследствие наличия вязкости задолго до того, как процесс диффузии достигнет стационарного состояния. Таким образом, вновь предполагая отсутствие внешних сил F_k, мы можем считать градиенты давления пренебрежимо малыми уже почти в самом начале процесса диффузии.

Таким образом, мы можем поставить граничные условия в общей задаче исходя из того, что существует поверхность, где осуществляется состояние равновесия. Для твердых тел (случай а) - это состояние механического равновесия, где поверхность твердого тела неподвижна.

Рассмотрим в качестве примера такого подхода модель волнового твердотельного гироскопа, приведенную в работе [ ] .

Резонатор ВТГ выполнен в виде тонкостенной полусферической оболочки, закрепленной на цилиндрической ножке в окрестности полюса (рис. 2.1 Математическая мо­дель оболочки строится на основе гипотезы Кирхгофа-Лява, которая заключается в следующем: любая прямая, нормальная к средней поверхности оболочки до деформации, остается нормальной к этой поверхности и после деформации; длина отрезка нормали вдоль толщины оболочки остается постоянной в процессе деформации; нормальные напряжения, возникающие между соседними слоями оболочки, параллельными средней поверхности, малы по сравнению с другими компонентами тензора напряжений, и ими можно пренебречь. В случае выполнения гипотезы Киргофа -Лява ,в качестве неподвижной поверхности выбрана некоторая «срединная поверхность», где предполагается , что все действующие силы находятся в равновесии , т. е амплитуда колебаний равна нулю

Рис. 2.1. Резонатор ВТГ

1 – оболочка

2 -ножка

Рис. 2.2. Схема деформации оболочки

(α), (β), (γ) – координаты линий;

- компоненты вектора перемещения;

- единичные векторы

Гипотеза Кирхгофа - Лява дает возможность установить геометрическую картину деформации оболочки. В общем случае деформация является суммой касательных перемещений , точек средней поверхности и нормального перемещения этой же поверхности; здесь и - локальные координаты точки на средней поверхности полусферической оболочки (рис. 2.2).

В состоянии равновесия, которое приблизительно выполняется на срединной поверхности , компоненты тензоров напряжений и деформаций ( и соответственно) под­чинены следующим условиям:

,

где - "вертикальная" координата точек, лежащих внутри оболочки (см. рис. 2.2).

С помощью этих соотношений закон Гука, отражающий линейную связь тензоров напряжений и деформаций, можно записать в виде

(2.11)

где Е - модуль Юнга; v - коэффициент Пуассона материала оболочки.

Компоненты тензора деформаций разложим по степеням координаты и оставим в полученных разложениях только линейные относительно слагаемые:

(2.12)

Коэффициенты разложений (2.12) имеют следующий геометрический смысл: и являются относительными удлинениями координатных линий; и характеризует изменение угла между координатными линиями (деформация сдвига); и характеризуют изменение главных кривизн средней поверхности при переходе в деформированное состояние (деформация изгиба); характеризует деформацию кручения средней поверхности.

Значения коэффициентов разложений (2.12) целесообраз­но привести сразу для полусферической оболочки, для ко­торой - сферические координаты, R - ра­диус средней поверхности в недеформированном состоянии (рис. 2.3), тогда справедливы равенства:

(2.13)

Рис. 2.3. Сферические координаты

Рис. 2.3. Схема нагрузок действующих на элемент оболочки

Подставляя (2.12) в (2.11), получаем:

(2.14)

Рассмотрим движение выделенного элемента оболочки, для которой координатные линии являются линиями кривиз­ны (рис. 2.4); очевидно, что сферическая оболочка обладает таким свойством. На рис. 2.4 точки имеют следующие координаты: .

Согласно принципу Даламбера, выделенный элемент на­ходится в состоянии равновесия, если сумма активных сил, сил инерции, а также моментов этих сил, приложенных к нему, равна нулю.

Введем в рассмотрение силы и моменты, действующие на выделенный элемент со стороны остальной части оболочки (см. рис. 2.4):

- нормальные силы;

- сдвигающие силы;

- перерезывающие силы;

- изгибающие моменты;

- крутящие моменты.

Обозначим проекции сил инерции, отнесенных к единице площади средней поверхности, на оси локальной системы координат через X, Y, Z соответственно.

Отметим, что все силовые факторы приведены на единицу длины соответствующей координатной линии средней поверхности оболочки.

Силовые факторы связаны с компонентами тензора на­пряжений следующим образом:

(2.15)

где h - толщина стенки оболочки.

Подставляя (2.14) в (2.15) и выполняя интегрирование, по­лучаем выражения для сил и моментов через составляющие деформации:

(2.16)

Уравнения равновесия элемента оболочки, изображенного на рис. 2.4, выглядят следующим образом:

(2.17)

После исключения перерезывающих сил и и подстановки получаем:

(2.18)

Решая эти уравнения можно получить распределение пучности и впадин стоячей волны по кромке резонатора в начальный момент времени в стационарном режиме. Эти расчеты бывают крайне необходимы при оценке падения добротности резонатора в зависимости от технологических погрешностей изготовления активного элемента.

Таким образом ,модель развития напряжений в чувствительном элементе гироскопа формально построена. Полученные уравнения приводят к достаточно сложным уравнения колебаний четвертого порядка, поэтому в рамках данного курса не рассматриваются. Способы решения этого уравнения приведены в той же работе [ ]