
- •Введение
- •1. Общие сведения о процессах математического моделирования технологических процессов и элементов приборов.
- •1.1.1 Законы сохранения и основные уравнения неравновесной термодинамики
- •1.1.2 Линейные законы для обобщенных переменных
- •1.2 Постановка задачи моделирования
- •1.2.1 Основные уравнения математической физики
- •1.3. Моделирование краевых условий для основных уравнений математической физики.
- •1.3.1 Физическая постановка задачи формирования граничных условий.
- •Стационарные состояния
- •1.3.2 Математическая постановка задачи формирования граничных условий. (Постановка краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка)
- •2 Основные типы приближений
- •2.1. Равновесное приближение
- •2.1.1 Механическое равновесие
- •2.1.2 Построение модели равновесных и квазиравновесных процессов c уравнений фазовых равновесий.
- •Уравнение (2.5) обычно используется при моделировании задач, связанных с фазовыми переходами, а (2.6) – со стационарными состояниями твердого тела.
- •2.2 Диффузионное приближение
- •2.3 Приближение высоких энергий
- •3. Моделирование задач оптики
- •3.1 Принципы расчета передаточной функции простейших оптических элементов.
- •3.2 Применение приближения плоской волны и интеграла Кирхгофа в моделировании задач оптики
- •3.2.1 Расчет передаточной функции дифракционной решетки в приближении Кирхгофа
- •3.5 Определение функции передачи оптического диска в приближении плоской волны (прямая задача расчета дифракционных решеток)
- •3.6 Применение результатов расчета электромагнитного поля для определения точностных параметров разрабатываемых элементов
- •4 Интерпретация полученных следствий и проверка адекватности модели
- •5 Заключение
- •Литература.
1.2 Постановка задачи моделирования
После того, как проведено изучение основных законов , описывающих процесс или объект, необходимо составить систему математических уравнений, которая допускала бы решения , сравнимые с опытными данными. Однако параметры, которыми приходится оперировать при составлении уравнений сохранения не соответствуют полностью параметрам, которые измеряются на производстве Например , как правило , при моделировании
Высокоэнергетических потоков, таких , как лазерная обработка или неравновесные технологии выращивания кристаллов, оперируют температурами и скоростями в центре потока. Экспериментально измеряют в лучшем случае , у одной из границ. Для того, чтобы связать входные и выходные параметры модели с экспериментально определяемыми параметрами, часто приходится дополнять основную систему уравнений дополнительными зависимостями или делать выводы на основании относительных данных
1.2.1 Основные уравнения математической физики
Система уравнений (1.47 - 1.49) остается бесконечно сложной, во-первых, из-за большого количества скалярных уравнений (в трехмерном координатном пространстве получается 9 уравнений движения и 27 уравнений, описывающих граничные условия), во-вторых, из-за нарушения непрерывности функций на границе раздела сред, что приводит, как правило, к невозможности применения простых численных методов для решения задач. Поэтому при моделировании различных физических процессов предполагают, что описываемые среды имеют постоянные входные параметры, хотя бы на каком-то конечном отрезке. Для типовых процессов, как правило, это параметры теплопроводности, температуропроводности, теплоемкости, для процессов упругих колебаний, как правило, постоянными предполагаются модули Юнга, для процессов, связанных с фазовыми переходами постоянной предполагается энергия Гиббса и т.д.
В этом случае преобразование уравнений (1.47 - 1.49) приводит к более простым дифференциальным и интегральным уравнениям или даже к интегро-дифференциальным уравнениям. При этом весьма широкий класс физических процессов описывается линейными дифференциальными уравнениями второго порядка.
(1.53)
Основные системы дифференциальных уравнений принято разделять по тем областям, где они были впервые сформулированы. Однако не следует забывать, что мы имеем дело с обобщенными потоками, и эти уравнения справедливы и для других областей, если обобщенный поток можно записать, используя постоянные параметры среды. Таким образом, уравнения тепломассопереноса могут описывать как уравнения переноса массы, уравнения переноса энергии, так и поток денег в банке, а волновое уравнение может описывать электромагнитное поле так же, как и волну в плазме или в волну тепла, распространяющегося по трубе с жидкость.
В этом параграфе мы рассмотрим характерные физические процессы, сводящиеся к различным краевым задачам для дифференциальных уравнений.
1. Уравнение колебаний. Многие задачи механики (колебания струн, стержней, мембран и трехмерных объемов) и физики (электромагнитные колебания) описываются уравнением колебаний вида
(1.54)
где неизвестная функция и(х,t) зависит от п (п = 1,2,3) пространственных координат х = (x1, x2 ,….. ,хп) и времени t; коэффициенты , р и q определяются свойствами среды, где происходит колебательный процесс; свободный член F(x,t) выражает интенсивность внешнего возмущения. В уравнении (1.54) в соответствии с определением операторов div и grad
При F0 колебания струны называются вынужденными,
а при F = 0 - свободными.
Если плотность р постоянна, р(х) = р, то уравнение колебаний струны принимает вид
(1.57)
где f = F/p, a a2 = T0/p — постоянная. Уравнение (1.57) мы будем также называть одномерным волновым уравнением.
Уравнение вида (1.54) описывает также малые продольные колебания упругого стержня
(1.58)
где S(x) — площадь поперечного сечения стержня и Е(х) — модуль Юнга в точке х.
Из физических соображений следует, что для однозначного описания процесса колебаний струны или стержня необходимо дополнительно задать смешения, скорости в начальный момент времени (начальные условия) и режим на концах (граничные условия).
Аналогично выводится уравнение малых поперечных колебаний мембраны
(1.59)
Если плотность р постоянна, то уравнение колебаний мембраны
(1.60)
будем называть двумерными волновым уравнением. Трехмерное волновое уравнение
(1.61)
описывает процессы распространения звука в однородной среде и электромагнитных волн в однородной непроводящей среде. Этому уравнению удовлетворяют плотность газа, его давление и потенциал скоростей, а также составляющие напряженности электрического и магнитного полей и соответствующие потенциалы.
Мы будем записывать волновые уравнения (1.57), (1.60) и (1.61) единой формулой
2. Уравнение диффузии. Процессы распространения тепла или диффузии частиц в среде описываются следующим общим уравнением диффузии:
(1.62)
Выведем уравнение распространения
тепла. Обозначим через u(x,t)
температуру среды в точке
в момент времени t.
Считая среду изотропной, обозначим
через р(х), с(х) и r(x)
соответственно ее плотность, удельную
теплоемкость и коэффициент теплопроводности
в точке х. Обозначим через F(x,t)
интенсивность источников тепла в точке
х в момент времени t.
Подсчитаем баланс тепла в произвольном
объеме V за промежуток
времени (t,t
+ t).
Обозначим через S
границу V, и пусть n
— внешняя нормаль к ней. Согласно закону
Фурье через поверхность S
в объем V поступает
количество тепла
равное в силу формулы Гаусса-Остроградского:
За счет тепловых источников в объеме V возникает количество тепла
Так как температура в объеме V за промежуток времени (t, t + t) выросла на величину:
то для этого необходимо затратить количество тепла:
С другой стороны,
,
и потому:
откуда в силу произвольности объема V получаем уравнение распространения тепла:
(1.63)
Если среда однородна, т. е. с, р и k — постоянные, то уравнение (1.63) принимает вид:
(1.64)
Уравнение (1.64) называется уравнением теплопроводности. Число п пространственных переменных x1, х2,..., хn в этом уравнении может быть любым.
Как и в случае уравнения колебаний, для полного описания процесса распространения тепла необходимо задать начальное распределение температуры u в среде (начальное условие) и режим на границе этой среды (граничное условие).
Аналогично выводится и уравнение
диффузии частиц. При этом вместо закона
Фурье нужно пользоваться законом Нэрнста
для потока частиц через элемент
поверхности S
за единицу времени:
,
где D(x)
- коэффициент диффузии и u(x,t)
- плотность частиц в точке х в момент
времени t. Уравнение
для плотности и будет иметь вид (1.62), где
р обозначает коэффициент пористости,
р = D и q
характеризует поглощение среды.
3. Стационарное уравнение. Для стационарных процессов F(x, t) = F(x), u(х,t) = u(х) уравнения колебания (1.54) и диффузии (1.62) принимают вид
(1.65)
При р = const и q = 0 уравнение (1.65) называется уравнением Пуассона:
(1.66)
при f =0 уравнение (1.66) называется уравнением Лапласа:
(1.67)
Для полного описания стационарного процесса необходимо еще задать режим на границе — одно из граничных условий (14)-(16).
Пусть в волновом уравнении (10) внешнее возмущение f(x,t) периодическое с частотой w и амплитудой a2 f(x):
Если искать периодические возмущения u(x,t) с той же частотой и неизвестной амплитудой u(x),
то для функции u(х) получим стационарное уравнение
(1.68)
называемое уравнением Гелъмгольца.
Рис. 1.2
К краевым задачам для уравнения
Гельмгольца приводят задачи на рассеяние
(дифракцию). Например, пусть задана
приходящая (из бесконечности) плоская
волна
которая подвергается изменению из-за
наличия некоторого препятствия на
границе S ограниченной области
G (рис. 1.2). Препятствие можно задавать,
например, с помощью условия:
или
Это препятствие порождает рассеянную волну v(x). Эта волна вдали от рассеивающих центров будет близка к расходящейся сферической волне
(1.69)
Поэтому при
волна v(x)
должна удовлетворять условиям вида
(1.70)
называемым условиями излучения Зоммерфельда.
Суммарное же возмущение u(х) вне области G складывается из плоской и рассеянной волн:
(1.71)
Отметим попутно, что функция
фигурирующая в (1.69), называется
амплитудой рассеяния. Она зависит,
кроме того, от падающего импульса ka.
4. Уравнения газо-гидродинамики. Рассмотрим движение идеальной жидкости (газа), т.е. жидкости, в которой отсутствуют силы вязкости. Пусть V(x,t) = (v1,v2,v3) - вектор скорости движения жидкости, p(x,t) - ее плотность,
p(x,t) - давление, f(x,t) - интенсивность источников и вектор
F(x,t) = (F1, F2, F3) - интенсивность массовых сил. Тогда эти величины удовлетворяют следующей (нелинейной) системе уравнений, называемых уравнениями гидродинамики (газовой динамики):
(1.72)
(1.73)
Уравнения (1.72) и (1.73) называются соответственно уравнением неразрывности и уравнением движения Эйлера. Чтобы замкнуть эту систему уравнений, необходимо еще задать связь между давлением и плотностью:
(1.74)
так называемое уравнение состояния. Например, для несжимаемой жидкости уравнение состояния имеет вид = const, а для адиабатического движения газа -
где cp и cv - удельные теплоемкости газа при постоянном давлении и постоянном объеме соответственно.
В частности, если жидкость несжимаема ( =const) и ее движение потенциально (V = - grad u), то из уравнения неразрывности (1.72) следует, что потенциал и удовлетворяет уравнению Пуассона (1.66).
5. Уравнение Максвелла. Пусть в некоторой среде имеется переменное электромагнитное поле.
Обозначим:
E(x,t) = (E1, E2, E3) - напряженность электрического поля;
H(x,t) = (H1, H2, H3) - напряженность магнитного поля;
(х) - плотность зарядов; - диэлектрическая постоянная среды;
- коэффициент магнитной проницаемости среды;
I(x,t) = (I1, I2, I3 ) - ток проводимости.
Тогда эти величины удовлетворяют следующей (линейной) системе дифференциальных уравнений, называемых уравнениями Максвелла:
(1.75)
(1.76)
(1.77)
где с = 3 • 1010 см/с — скорость света в пустоте.
Уравнение (1.76) выражает закон Фарадея, а уравнение (1.77) — закон Ампера.
они имеют вид:
,
(1.2.1)
,
(1.2.2)
,
(1.2.3)
,
(1.2.4)
,
(1.2.5)
,
(1.2.6)
где
и
- соответственно электрическая и
магнитная постоянные,
и
- относительные соответственно
диэлектрическая и магнитная проницаемости
среды.
Частные случаи уравнения Максвелла
а) = 0, = const, = const и I = Е (закон Ома), = const. Применяя к уравнениям (1.76) и (1.77) оператор rot и пользуясь уравнениями (1.75) для компонент векторов Е и Н получим так называемое телеграфное уравнение:
(1.78)
б) I = 0, = const, = const. Вводя четырехкомпонентный электромагнитный потенциал (A0, А), A(x,t) = (A1, A2, A3) представим решение уравнений Максвелла в виде:
(1.79)
При этом компоненты электромагнитного потенциала должны удовлетворять волновым уравнениям:
(1.80)
и условию Лоренца
в) Если процесс стационарный, то уравнения Максвелла превращаются в уравнения электростатики:
и в уравнения магнитостатики:
При = const
электростатический потенциал A0
удовлетворяет (в силу (1.80)) уравнению
Пуассона (1.66) с
.
При преобразовании уравнения Максвелла мы пользовались следующими формулами векторного анализа:
6. Уравнение Шрёдингера. Последним уравнение, которое будет приведено в наших методических указаниях, будет уравнение Шредингера. В данном курсе не будут рассматриваться задачи, связанные с квантовой механикой, однако, некоторыми ее результатами (например, значением ширины запрещенной зоны для полупроводниковых лазеров) мы будем пользоваться в дальнейшем. Поэтому рассмотрим основные допуски, заложенные при решении этого уравнения.
Пусть квантовая частица массы m0 движется во внешнем силовом поле с потенциалом V(x). Обозначим через ψ(х, t) волновую функцию этой частицы, так что |ψ(х, t) |2Δx есть вероятность того, что частица будет находиться в окрестности v(x) точки х в момент времени t; здесь — Δ объем v(x). Тогда функция Ψ удовлетворяет уравнению Шрёдингера
(1.81)
где
= 1,054 • 10-27эрг
• с — постоянная Планка.
Если энергия Е частицы имеет определенное значение, то такое состояние ее называется стационарным. В этом случае волновая функция ψ(х, t) имеет вид
где волновая волна функция ψ(х,) в силу (1.81) удовлетворяет стационарному уравнению Шрёдингера
(1.82)
При V = 0 (свободная частица) уравнение Шрёдингера (1.82) превращается в однородное уравнение Гельмгольца (1.68).
Как и для уравнения
Гельмгольца, в задачах на рассеяние на
потенциале V
необходимо требовать
выполнения условий излучения Зоммерфельда
(1.70) на бесконечности (где
).
Таким образом, во многих случаях нет необходимости выводить уравнения модели. Можно воспользоваться системой уравнений математической физики, присовокупив к ней набор граничных условий, сформулированный для вашей частной задачи.