- •Оглавление
- •Требования к оформлению контрольных работ
- •Формирование исходных данных к задачам
- •Рекомендуемая литература
- •Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 1 и решение типовых задач
- •1.1. Матрицы и действия над ними
- •Действия над матрицами
- •1.2. Определители 2-го и 3-го порядков
- •Вычисление определителей 2-го и 3-го порядка
- •Свойства определителей
- •1.3. Обратная матрица
- •1.4. Решение систем линейных алгебраических уравнений (слаУр)
- •Матричный метод решения слаУр
- •Формулы Крамера для решения слаУр
- •Решить систему по формулам Крамера. Решение Формулы Крамера: . Вычислим определители:
- •Ранг матрицы
- •Рассмотрим матрицу специального вида
- •Метод Гаусса решения слаУр
- •Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 2 и решение типовых задач
- •2.1. Прямая на плоскости
- •Условие параллельности двух прямых
- •Условие перпендикулярности двух прямых
- •2.2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве
- •Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 3 и решение типовых задач
- •3.1. Раскрытие неопределенности вида .
- •3.2. Раскрытие неопределенности вида
- •3.3. Вычисление пределов с использованием второго замечательного предела
- •3.4. Непрерывность функции
- •Классификация точек разрыва
- •3.5. Правила дифференцирования
- •Правила дифференцирования
- •3.6. Производная сложной функции
- •3.7. Метод логарифмического дифференцирования
- •3.8. Производная функции, заданной неявно
- •3.9. Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •- Параметр.
- •3.10. Исследование функций и построение графиков функций
- •Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 4 и решение типовых задач
- •4.1. Метод интегрирования подведением под знак дифференциала
- •4.2. Метод интегрирования по частям
- •4.3. Интегрирование тригонометрических выражений
- •4.4. Вычисление площадей с помощью определенного интеграла
- •4.5. Несобственные интегралы 1-го рода
- •Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 5 и решение типовых задач
- •5.1. Классическое определение вероятности
- •5.2. Формула полной вероятности
- •5.3. Формула Бернулли и ее следствия
- •Следствия формулы Бернулли
- •5.4. Дискретные случайные величины
- •Числовые характеристики дсв
- •5.5. Непрерывные случайные величины
- •Свойства функции распределения
- •Свойства плотности распределения
- •Числовые характеристики нсв
- •Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 6 и решение типовых задач
- •6.1. Выборка из одномерной генеральной совокупности
- •Числовые характеристики выборки
- •Проверка статистической гипотезы о нормальном законе распределения генеральной совокупности с помощью критерия Пирсона
- •6.2. Выборка из двумерной генеральной совокупности
- •1. Элементы линейной алгебры
- •2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
- •3. Предел и производная функции одной переменной
- •4. Интегральное исчисление функции одной переменной
- •5. Теория вероятностей
- •6. Математическая статистика
- •Значения функции Лапласа
- •Сборник заданий по математике и статистике
- •191015, Г. Санкт-Петербург, ул. Кавалергардская, 7
1. Элементы линейной алгебры
Матрицы, операции над ними. Определители и их свойства и вычисление. Ранг матрицы, обратная матрица. Теорема Кронекера-Капелли. Решение систем линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера, матричным методом и методом Гаусса. Система m линейных уравнений с n неизвестными.
2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
Линейные операции над векторами. Декартова прямоугольная система координат. Координаты вектора. Направляющие косинусы и длина вектора. Скалярные и векторные величины. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов.
Прямая на плоскости. Расстояние от точки до прямой. Угол между прямыми. Геометрический смысл линейных неравенств и их систем. Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола, их канонические уравнения. Аналитическая геометрия в пространстве. Уравнение плоскости в пространстве. Прямая в пространстве. Основные задачи на прямую и плоскость в пространстве. Преобразование координат. Полярная система координат.
3. Предел и производная функции одной переменной
Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах. Бесконечно малые функции, их свойства. Бесконечно большие функции, их свойства. Замечательные пределы. Непрерывность функции, точки разрыва функции и их классификация.
Производная функции в точке. Дифференцируемость и непрерывность. Геометрический и механический смысл производной. Таблица производных. Правила дифференцирования. Производная сложной и обратной функции. Производная функций заданных неявно и параметрически. Дифференциал функции, его геометрический смысл. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Производные и дифференциалы высших порядков.
Теоремы о дифференцируемых функциях. Исследование функций на возрастание и убывание. Исследование функций на экстремум. Исследование функций на выпуклость и вогнутость, нахождение точек перегиба. Вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты. Общий план исследования функции и построения графика функции.
4. Интегральное исчисление функции одной переменной
Первообразная. Неопределенный интеграл, простейшие свойства неопределенного интеграла. Таблица неопределенных интегралов. Основные методы интегрирования: замена переменной, интегрирование по частям. Интегрирование рациональных дробей, тригонометрических и иррациональных функций.
Интегральная сумма и определенный интеграл. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определенного интеграла методом интегрирования по частям. Замена переменной в определенном интеграле. Приложения определенного интеграла. Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода.
5. Теория вероятностей
Элементы комбинаторики (размещения, сочетания, перестановки). Основные понятия теории вероятностей. Алгебра событий. Аксиомы теории вероятностей. Следствия из аксиом теории вероятностей. Классическое определение вероятности. Геометрическое определение вероятности. Зависимые и независимые события. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Теорема сложения вероятностей. Формула полной вероятности. Формулы Байеса. Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли. Следствия из формулы Бернулли. Формула Пуассона.
Понятие случайной величины (СВ) и ее закона распределения. ДСВ и НСВ. Ряд распределения. Многоугольник распределения. Функции распределения, ее свойства. Плотность распределения, ее свойства. Числовые характеристики СВ (математическое ожидание, мода, медиана, дисперсия, СКО). Начальные и центральные моменты СВ. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Равномерное распределение. Показательное распределение. Нормальный закон распределения и его параметры. Вероятность попадания СВ, подчиненной нормальному закону, на заданный участок. Функция Лапласа. Дискретные и непрерывные системы случайных величин (ССВ). Система 2-х СВ, матрица распределения. Функция распределения двумерной СВ, ее свойства. Числовые характеристики ССВ. Корреляционный момент, коэффициент корреляции, корреляционная матрица. Закон больших чисел. Предельные теоремы.