5.5. Непрерывные случайные величины

Непрерывная СВ (НСВ) – это величина, множество возможных значений которой – непрерывное множество, т.е. сплошь заполняет некоторый промежуток (определение не строгое). Можно показать, что вероятность отдельного значения НСВ равна нулю. Из этого не следует, что событие невозможное. Это означает, что при неограниченном повторении опыта это событие будет появляться сколь угодно редко.

Универсальным законом распределения, пригодным как для ДСВ, так и для НСВ, который полностью характеризует СВ с вероятностной точки зрения, является функция распределения .

Свойства функции распределения

1. Функция распределения , что следует из определения функции распределения, как вероятности события , а вероятность любого события .

2. Функция распределения неубывающая функция своего аргумента, т.е. если , то .

3. Вероятность попадания СВ в промежуток равна приращению функции распределения на этом интервале

.

4. Если возможные значения СВ принадлежат интервалу , то

1) при , 2) при .

5. Если возможные значения НСВ расположены на всей оси Ох, то

, .

6. Функция непрерывна слева, т.е. . Для непрерывной СВ функция распределения непрерывна всюду.

Замечание. Так как вероятность каждого отдельного значения НСВ равна нулю, то для НСВ справедливы равенства

.

Плотностью распределения (или плотностью вероятности, или плотностью) НСВ Х в точке х называется производная ее функции распределения в этой точке:

.

График плотности распределения называется кривой распределения. Плотность распределения существует только для НСВ.

Плотность распределения называют дифференциальной функцией распределения или дифференциальным законом распределения.

Свойства плотности распределения

1. Плотность распределения – неотрицательная функция, т.е. .

2. Вероятность попадания СВ с плотностью распределения в данный интервал выражается формулой:

.

3. Функция распределения выражается через плотность распределения формулой:

.

4. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице (свойство нормированности):

.

Замечание. Если функция не удовлетворяет свойству 4, то она не может быть плотностью распределения какой-либо случайной величины.

Числовые характеристики нсв

Математическое ожидание для НСВ, все значения которой принадлежат отрезку определяется формулой:

.

Если все значения непрерывной случайной величины принадлежат промежутку , то математическое ожидание определяется формулой:

,

если несобственный интеграл сходится абсолютно

Дисперсия НСВ, все значения которой принадлежат отрезку , определяется формулой

.

Если непрерывная случайная величина принимает значения, принадлежащие промежутку , то ее дисперсия определяется формулой

,

если несобственный интеграл сходится абсолютно.

Среднее квадратическое отклонение случайной величины находится по формуле

.

Пример

Плотность распределения непрерывной случайной величины Х имеет вид

.

Найти: параметр А, функцию распределения , вероятность попадания случайной величины Х в интервал , математическое ожидание и дисперсию .

Решение

Для определения значения А воспользуемся условием . Вычислим интеграл

,

плотность распределения случайной величины Х примет вид

Для того, чтобы найти функцию распределения , воспользуемся формулой .

При получаем ,

при находим

,

при : .

Таким образом, искомая функция распределения имеет вид

Вероятность попадания СВ Х в интервал найдем по формуле , она будет равна

.

Математическое ожидание находим по формуле :

.

Дисперсию найдем по формуле :

,

тогда .

Контрольная работа № 6. Элементы математической статистики

1. Результаты измерений некоторой физической величины представлены в таблице:

i	1	2	3	4	5	6	7	8
	4	7	13			16	6	3

где i – номер интервала, – границы интервала, , , – частота.

6.1.1. Найти функцию распределения выборки и построить ее график.

6.1.2. Построить гистограмму относительных частот.

6.1.3. Найти числовые характеристики выборки: выборочное среднее и исправленную выборочную дисперсию .

6.1.4. Используя функцию Лапласа, построить доверительный интервал для математического ожидания, соответствующий доверительной вероятности .

6.1.5. С помощью критерия (Пирсона) проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности при уровне значимости .

2. Двумерная выборка результатов совместных измерений признаков х и у объемом измерений задана корреляционной таблицей:

	2	3	–	–	–	5
	3	8	2	–	–	13
	–			–	–
	–	–			–
	–	–	9	10	–	19
	–	–	3	6	1	10
	–	–	–	1	2	3
	5				3

где , .

6.2.1. Найти выборочные средние и выборочные дисперсии .

6.2.2. Построить уравнение линии регрессии Y на Х в виде .

6.2.3. На графике изобразить корреляционное поле, т.е. нанести точки и построить прямую .