Практическая работа № 7.

Тема: Транспортная задача.

Цели работы: получить представление о решении транспортных задач.

Краткое изложение темы.

Транспортная задача возникает при планировании наиболее рациональных перевозок грузов. В одних случаях это означает определение такого плана перевозок, при котором стоимость последних была бы минимальна (транспортная задача по критерию стоимости), а в других – более важным является выигрыш во времени (транспортная задача по критерию времени).

Алгоритм решения первой задачи рассмотрим на примере, который приведен ниже.

Примеры выполнения заданий.

Пример 1. В двух пунктах отправления А и В находится соответственно 150 и 90 т горючего. В пункты 1, 2 и 3 требуется доставить соответственно 60, 70 и 110 т горючего. Стоимости перевозки тонны горючего из пункта А в пункты 1, 2, 3 составляют соответственно 6, 10 и 4 ден. ед., а из пункта В – 12, 2 и 8 ден. ед. Составить оптимальный план перевозок горючего так, чтобы общая сумма транспортных расходов была наименьшей.

Решение:

1. Построение исходного опорного решения.

Запишем исходные данные в таблице 1.

Таблица 1.

		1		2		3
		60		70		110
А	150		6		10		4
		60		70		20
В	90		12		2		8
						90

Заполнение начнем с клетки (1,1): , первый столбец закрыт.

Переходим к клетке (1,2): , второй столбец закрыт.

Переходим к клетке (1,3): . Так как в третьем столбце оказался остаток, равный 90, то переходим к заполнению клетки (2,3), куда заносим .

Поскольку остатки по строке и столбцу равны нулю, опорное исходное решение построено.

Этому плану соответствуют затраты в количестве

2. Построение последовательных итераций.

1-ая итерация:

Для нахождения потенциалов необходимо решить систему

,

,

,

.

Полагая , получим

Вычисляем косвенные стоимости :

,

.

Подсчитываем теперь разности :

,

.

Следовательно, выражение через свободные переменные имеет вид . Среди коэффициентов при переменных в правой части есть отрицательный при , следовательно, можно попытаться уменьшить , увеличив (сохранив нулевое значение ).

Положим . Поскольку суммы значений неизвестных по строкам и столбцам должны оставаться неизменными, нужно произвести следующий балансовый перерасчет:

60

Добавление к компенсируется вычитанием из , а это в свою очередь – прибавлением к и т.д. до тех пор, пока мы не вернемся обратно к . Как видно из таблицы, для неотрицательности переменных можно увеличить до , тогда получим второе опорное решение:

Таблица 2.

		1		2		3
		60		70		110
А	150		6		10		4
		60		0		90
В	90		12		2		8
		0		70		20

Значение функции для решения , , , , , составляет ден.ед.

2-ая итерация:

Находим потенциалы:

,

,

.

Полагая , получим

.

Вычисляем косвенные стоимости :

,

.

Подсчитываем теперь разности :

,

.

Следовательно, выражение через свободные переменные имеет вид . Среди коэффициентов при переменных в правой части нет отрицательных, следовательно, уменьшить нельзя.

Следовательно решение , , , , , является оптимальным и ден.ед.

Ответ: ден.ед. при решении , , , , , .