Задания для практической работы. Вариант 1.
1. Найдите общее
решение уравнения
.
2. Найдите частное
решение уравнения
,
удовлетворяющего начальным условиям
при
.
3. Найдите общее
решение уравнения
.
4. Найдите частное
решение уравнения
,
удовлетворяющего начальным условиям
при
.
Вариант 2.
1. Найдите общее
решение уравнения
.
2. Найдите частное
решение уравнения
,
удовлетворяющего начальным условиям
при
.
3. Найдите общее
решение уравнения
.
(Приведите уравнение к общему виду
линейного дифференциального уравнения
первого порядка).
4. Найдите частное
решение уравнения
,
удовлетворяющего начальным условиям
при
.
Практическая работа № 5.
Тема: Дифференциальные уравнения второго порядка.
Цели работы: научиться находить общее и частное решения дифференциальных уравнений второго порядка.
Краткое изложение темы.
Уравнение, содержащее производные не выше второго порядка, называется дифференциальным уравнением второго порядка. В общем виде уравнение второго порядка записывается следующим образом:
.
Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида
,
где
и
- постоянные величины.
Алгоритм решения линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами:
Записать дифференциальное уравнение в виде
.Составить его характеристическое уравнение:
(если
обозначить через
,
- через
,
- через 1).Вычислить дискриминант
;
при этом если:
а)
,
то характеристическое уравнение имеет
два разных корня
и
.
Общее решение дифференциального уравнения выражается в виде
,
где
и
- произвольные постоянные.
б)
,
то при этом характеристическое уравнение
имеет два равных корня
=
.
Общее решение дифференциального уравнения выражается в виде
,
где и - произвольные постоянные.
в)
,
то при этом характеристическое уравнение
имеет комплексные корни
и
.
Общее решение дифференциального уравнения выражается в виде
,
где и - произвольные постоянные.
Примеры выполнения заданий.
Пример 1.
Решить уравнение
.
Решение:
Составим характеристическое уравнение:
.
Найдем корни данного уравнения:
.
,
.
Так как корни характеристического уравнения действительные и различные, то общее решение дифференциального уравнения запишется так:
.
Ответ: .
Пример 2.
Решить уравнение
.
Решение:
Составим характеристическое уравнение:
.
Найдем его корни:
.
,
.
Здесь
,
.
Так как характеристическое уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня, то общее решение дифференциального уравнения записывается в виде
.
Ответ:
Пример 3.
Найти частное решение уравнения
,
если
и
при
.
Решение:
Составим характеристическое уравнение
Найдем его корни
Так как корни действительные и равны, то общее решение данного дифференциального уравнения записывается в виде
Продифференцируем общее решение
.
Подставив начальные данные в выражения для и , получим систему уравнений
,
откуда
и
.
Следовательно,
искомое частное решение имеет вид
.
Ответ:
Пример 4.
Найти частное решение уравнения
,
если
и
при
.
Решение:
Составим характеристическое уравнение
Найдем его корни
Так как корни комплексно-сопряженные, то общее решение данного дифференциального уравнения записывается в виде
.
Продифференцируем общее решение
.
Подставив начальные данные в выражения для и , получим систему уравнений
,
откуда
и
.
Следовательно,
искомое частное решение имеет вид
.
Ответ: .