Задания для практической работы. Вариант № 1.
Найти производные функций:
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
Найти производную от неявных функций:
8.
.
9.
.
10.
.
Вариант № 2.
Найти производные функций:
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
Найти производную от неявных функций:
8.
.
9.
.
10.
.
Практическая работа № 4.
Тема: Дифференциальные уравнения первого порядка.
Цели работы: познакомиться с понятием дифференциального уравнения, научиться находить общее и частное решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными и линейных дифференциальных уравнений первого порядка.
Краткое изложение темы.
Уравнение вида
,
связывающее
аргумент
,
неизвестную функцию
и ее производные, называется дифференциальным
уравнением.
Решением дифференциального уравнения называется такая функция, которая обращает это уравнение в тождество.
Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида
где — неизвестная функция; — независимая переменная.
Общее решение
уравнений имеет вид
.
Частным решением называется решение, полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных.
Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида
.
Для решения этого уравнения нужно сначала разделить переменные
,
а затем проинтегрировать обе части полученного равенства
.
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида
,
где
и
- функции от х.
Это уравнение
приводится к уравнению с разделяющимися
переменными с помощью подстановки
,
где
и
- новые функции от х.
Примеры выполнения заданий.
1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
Пример 1.
Найти общее решение уравнения
.
Решение:
1) Разделим переменные
,
тогда
2) Интегрируем обе части полученного уравнения:
;
.
Так
как произвольная постоянная С может
принимать любые числовые значения, то
для удобства дальнейших преобразований
вместо С написали
.
Это и есть общее решение данного уравнения.
Ответ: .
Пример 2.
Найти частное решение уравнения
,
удовлетворяющее начальным условиям
при
.
Решение:
1) Разделим переменные
2) Интегрируем обе части полученного уравнения:
- это общее решение
данного уравнения.
3) Для нахождения значения произвольной постоянной С подставим значения и в выражение для общего решения:
,
,
.
Следовательно,
искомое частное решение, удовлетворяющее
указанным начальным условиям, имеет
вид
.
Ответ: .
2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Пример 3.
Найти общее решение уравнения
.
Решение:
Это
линейное уравнение: здесь
,
.
Положим
и продифференцируем это равенство по
х:
.
Подставив теперь выражения для и в данное уравнение, получим
,
или
. (*)
Так
как одну из вспомогательных функций
или
можно выбрать произвольно, то в качестве
возьмем одно из частных решений уравнения
.
Разделим в этом уравнении переменные:
Интегрируем обе части уравнения:
,
,
(произвольную постоянную С принимаем равной 0, так как находим одно из частных решений)
,
.
Подставим теперь выражение для в уравнение (*); тогда получим уравнение
.
Разделим переменные
Интегрируем обе части уравнения
Отсюда находим
Зная и , теперь получаем общее решение данного уравнения:
.
Ответ:
.
Пример 4.
Найти частное решение уравнения
,
если
при
.
Решение:
Разделив
все члены данного уравнения на
,
получим уравнение
,
которое является линейным.
Положим ; тогда .
Подставив теперь выражения для и в данное уравнение, получим
,
. (*)
Для отыскания получаем уравнение
,
Разделим переменные:
Интегрируем обе части уравнения:
,
,
.
Подставляя выражение для в уравнение (*), имеем
,
Разделяем переменные
,
,
Интегрируем обе части уравнения
,
.
Общее решение данного уравнения:
.
Используя
начальные условия
,
,
имеем
,
откуда
.
Таким образом, искомое частное решение имеет вид
.
Ответ: .