Практическая работа № 3.
Тема: Дифференцирование функций.
Цели работы: закрепить умение находить производные по основным правилам дифференцирования, научиться дифференцировать сложные и неявные функции.
Краткое изложение темы.
1. Дифференцирование явных функций.
Производной
от функции
по аргументу
называется конечный предел отношения
приращения функции к приращению
аргумента, когда последнее стремится
к нулю:
,
или
(производная
обозначается также
).
Геометрически
производная представляет собой угловой
коэффициент касательной к графику
функции
в точке
,
т.е.
.
Производная есть скорость изменения функции в точке .
Отыскание производной называется дифференцированием функции.
Формулы дифференцирования основных функций.
1) |
|
6) |
|
11) |
|
2) |
|
7) |
|
12) |
|
3) |
|
8) |
|
13) |
|
4) |
|
9) |
|
|
|
5) |
|
10) |
|
|
|
Основные правила дифференцирования
Пусть С – постоянная,
,
,
имеющие производные. Тогда:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
2. Дифференцирование сложной функции.
Если
,
,
т.е.
,
где функции
и
имеют производные, то
(правило дифференцирования сложной функции)
3. Дифференцирование неявных функций.
Пусть уравнение
определяет
как неявную функцию от
.
В дальнейшем будем считать эту функцию
дифференцируемой.
Продифференцировав
по
обе части уравнения
,
получим уравнение первой степени
относительно
.
Из этого уравнения легко находится
,
т.е. производная неявной функции для
всех значений
и
,
при которых множитель при
в уравнении не обращается в нуль.
Примеры выполнения заданий.
1. Дифференцирование явных функций.
Пример 1.
.
Решение:
.
Ответ:
Пример 2.
.
Решение:
.
Ответ:
.
Пример 3.
.
Решение:
.
Ответ:
.
2. Дифференцирование сложной функции.
Пример 4.
.
Решение:
Обозначим
,
тогда
.
По правилу дифференцирования сложной
функции имеем
.
Ответ:
.
Пример 5.
.
Решение:
Ответ:
.
Пример 6.
.
Решение:
Ответ:
.
Пример 7.
.
Решение:
Перепишем
функцию
в другой вид
.
Тогда
,
получим
.
Ответ:
.
Пример 8.
.
Решение:
Здесь
основание и показатель степени зависят
от х. Логарифмируя, получим
,
.
Продифференцируем обе части последнего
равенства по х. Так как у является
функцией от х, то
есть сложная функция х и
.
Следовательно,
,
,
т.е.
.
Ответ:
3. Дифференцирование неявных функций.
Пример 9.
Найти производную
из уравнения
.
Решение:
Так
как у является функцией от х, то будем
рассматривать у2 как сложную
функцию от х. Следовательно,
.
Продифференцировав
по х обе части данного уравнения, получим
,
т.е.
.
Ответ: .
Пример 10.
Найти производную
из уравнения
.
Решение:
Дифференцируя по х обе части уравнения, получаем
т.е.
.
Ответ: .