Примеры выполнения заданий.

Пример 1. Установить, может ли распределение случайной величины быть задано таблицей:

5/2	4	е	П	-2/3
0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

Решение:

Поскольку 0,1+0,2+0,3+0,3+0,1=1 и все числа в нижней строке таблицы положительны, то таблица задает закон распределения некоторой случайной величины.

Ответ: да.

Пример 2. Стрелок произвел 150 выстрелов по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,9. Найти математическое ожидание и дисперсию числа попаданий.

Решение:

Число попаданий в мишень распределено по биноминальному закону при n=150 и Р=0,9. тогда , .

Ответ: , .

Пример 3. Монету бросают два раза. Составить таблицу распределения числа появлений герба и построить график этого распределения. Найти математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины.

Решение:

Х – число появлений герба при двукратном бросании монеты, которое может принимать значения , , .

А – событие, состоящее в появлении герба.

Тогда

,

Закон распределения:

х	0	1	2
р	0,25	0,5	0,25

Ответ: , .

х	0	1	2
р	0,25	0,5	0,25

Задания для практической работы. Вариант 1.

1. Установите, задает ли закон распределения какой-либо случайной величины следующая таблица:

-1	2	3	4

2. Охотник сделал 10 выстрелов. Вероятность попадания при одном выстреле 0,7.Определить числовые характеристики распределения числа попаданий.

3. Два шахматиста, играющие в одинаковую силу, сыграли матч из шести партий (ничьих в матче не было). Пусть Х – число партий, выигранных одним из шахматистов. Найдите: а) закон распределения, б) постройте график распределения, в) , г) .

Вариант 2.

1. Установите, задает ли закон распределения какой-либо случайной величины следующая таблица:

-2	-1	0	1
0

2. Доля брака в некоторой продукции составляет 5%. Произведена выборка с возвращением каждый раз отобранного экземпляра. Всего отобрано 100 экземпляров. Определить числовые характеристики распределения количества брака в произведенной выборке.

3. Из урны, содержащей 5 белых и 5 черных шаров, вынимают наудачу три шара. Пусть Х – число вынутых черных шаров. Найдите: а) закон распределения, б) постройте график распределения, в) , г) .

Практическая работа № 10.

Тема: Решение задач математической статистики.

Цели работы: познакомиться с основными понятиями математической статистики, научиться строить статистические ряды, полигоны и гистограммы, находить числовые характеристики выборки.

Краткое изложение темы.

Статистической совокупностью называют множество однородных предметов или явлений. Отдельные элементы, входящие в совокупность, называются членами статистической совокупности, а общее число членов совокупности — ее объемом.

Пусть у данной статистической совокупности изучается некоторый признак, который, вообще говоря, изменяется при переходе от одного члена статистической совокупности к другому. Изменение этого признака называют его вариацией, а значение признака у данного члена статистической совокупности — его вариантой.

Если произвести группировку вариант по отдельным значениям признака (дискретная группировка) или по интервалам изменения признака (интервальная группировка) и результат группировки представить рядом вариант или интервалов вариации, расположенных в порядке их возрастания, и рядом соответствующих частот, то получим вариационный ряд (соответственно дискретный или интервальный).

Под частотой значения признака или интервала понимают число членов совокупности с данной вариантой или соответственно число членов совокупности, варианты которых лежат в данном интервале.

Для наглядного представления статистического распределения пользуются графическим изображением вариационных рядов (полигоном, гистограммой).

Для построения полигона вариационного ряда на оси абсцисс прямоугольной системы координат откладывают интервалы значений признака (отдельные значения признака в случае дискретного распределения), в серединах интервалов восстанавливают перпендикуляры, длины которых пропорциональны соответствующим частотам, затем концы соседних перпендикуляров соединяют отрезками прямых, а концы крайних перпендикуляров соединяют с серединами соседних интервалов, частоты которых равны нулю. В результате получим замкнутую фигуру в виде многоугольника, называемую полигоном.

Для графического изображения интервального вариационного ряда пользуются гистограммой, построение которой осуществляется таким образом. На оси абсцисс откладывают интервалы значений признака, и на каждом из них, как на основании, строят прямоугольник с высотой, пропорциональной частоте интервала.

Мода – это наиболее часто встречающееся значение признака в данном ряду распределения. Для дискретных вариационных рядов мода определяется как значение признака с наибольшей частотой. В случае непрерывной вариации мода вычисляется по формуле

,

где - модальный интервал, которому соответствует наибольшая частота , - ширина интервалов вариационного ряда, и - частоты, находящиеся в соответствии с интервалами, предшествующими модальному и следующие за ним.

Медианой называется значение признака, относительно которого статистическая совокупность делится на две равные по объему части.

Для дискретного вариационного ряда медиана определяется непосредственно на основании определения.

Если же распределение интервальное, то сначала находят так называемый медианный интервал , номер которого вычисляют из неравенств , , где - накопленная частость в точке х.

,

где - ширина интервалов вариационного ряда, - объем статистической совокупности, - накопленная частота до s-го интервала, - частота s-го интервала.