Практическая работа № 1. Тема: Вычисление определителей. Действия над матрицами.

Цели работы: получить представление о матрицах, определителях -го порядка, миноре и алгебраическом дополнении и научиться выполнять различные операции над матрицами, находить обратную матрицу, вычислять определители, разлагать определители по элементам любой строки и любого столбца.

Краткое изложение темы.

Прямоугольная таблица чисел вида называется матрицей.

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Элементы матрицы образуют столбцы и строки. Здесь — действительные числа (i = 1, 2, ..., m, j=1, 2, ..., n), i и j — соответственно индексы строки и столбца.

Произведение числа строк на число столбцов называют размером матрицы А.

Произведением матрицы А на действительное число называется матрица, каждый элемент которой получен умножением соответствующего элемента матрицы А на число .

Суммой матриц A и В одинакового размера называется матрица С того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц А и В.

Разность двух матриц одинакового размера определяется равенством: .

Произведением матриц называется такая матрица , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов -ой строки матрицы А на соответствующие элементы -го столбца матрицы В:

, где , .

Умножение матрицы А на матрицу В определено тогда и только тогда, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. В этом случае матрица А называется согласованной с матрицей В.

Транспонированием матрицы называется замена строк матрицы на ее столбцы с сохранением их порядка.

Обратной для матрицы А называется такая матрица (обозначение ), которая удовлетворяет условиям , где Е – единичная матрица.

Если определитель матрицы отличен от нуля, то такая матрица называется невырожденной, если определитель матрицы равен нулю, то матрица называется вырожденной.

Теорема: Обратная матрица существует (и единственна) тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная.

Алгоритм вычисления обратной матрицы:

1. Находим определитель исходной матрицы.

Если , то матрица А – вырожденная и обратной матрицы не существует.

Если , то матрица А – невырожденная и обратная матрица существует.

2. Находим матрицу , транспонированную к матрице А.

3. Находим алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы и составляем из них присоединенную матрицу .

.

4. Вычисляем обратную матрицу по формуле:

, ;

5. Проверяем правильность вычисления обратной матрицы , исходя из ее определения .

Любой квадратной матрице порядка можно поставить в соответствие число, называемое определителем, обозначаемое следующим образом

и вычисляемое по определенным правилам:

1) Квадратная матрица первого порядка есть , ее определитель:

.

2) Определитель квадратной матрицы второго порядка вычисляется по формуле:

.

3) Определитель квадратной матрицы третьего порядка вычисляется по формуле:

.

4) Определитель квадратной матрицы -го порядка вычисляется по теореме: определитель равен сумме произведений элементов какого-нибудь столбца или строки на их алгебраическое дополнения.

Иначе говоря, имеют место следующие равенства:

• разложение определителя по элементам -ой строки:

• разложение определителя по элементам -го столбца:

.

Минором элемента определителя -го порядка называется определитель ( -1)-го порядка, полученный из данного вычеркиванием -ой строки и -го столбца.

Алгебраическим дополнением некоторого элемента называется минор этого элемента, взятый со знаком :

.