Задания для самостоятельного решения

141) Вычислите а) arctg 0; б) arctg(-1); в) г) .

Арккотангенс.

На промежутке функция у = сtg x убывает и принимает на нём все свои значения, то есть значения от - ∞ до + ∞. Поэтому на промежутке для функции у = сtg x существует обратная функция. Она обозначается у = arcсtg x (читается «арккотангенс х»).

Свойства функции у = аrcсtg x

1. Область определения функции – множество всех действии тельных чисел.

2. Область значения функции – промежуток .

3. Функция не является ни чётной, ни нечётной.

4. Функция убывающая.

Так как записи у = arсctg x и х = сtg y эквивалентны, то

арккотангенсом числа х R называется такое число у , котангенс которого равен х.

Помни.

Задания для самостоятельного решения

142) Вычислите а) arcсtg 1; б) arcсtg (-1); в) .

Некоторые задания связанные с обратными

Тригонометрическими функциями

Пример 1. Постройте график функции у = cos (arсcos x).

Решение. cos (arсcos x) = х где

Имеем, у = х.

у

1

0 1 х

Пример 2. Найти: а) аrcsin (sin 1,2); б) arcsin (sin 8).

Решение. а) По определению аrcsin (sin х) = х, где .

В нашем случае , поэтому аrcsin (sin 1,2) = 1,2.

б) По определению аrcsin (sin х) = х, где .

В нашем случае число 8 . Заменим sin 8 синусом другого угла х, удовлетворяющему неравенству .

sin 8 = sin(3π – 8)

y 1,42

8

x

Поэтому arcsin (sin 8) = arcsin (sin(3π – 8)) = 3π – 8.

Пример 3. Найдите значение выражения

Решение. Пусть . Эта запись означает, что . Так, как значением косинуса яв – 0 ляется отрицательное число, то у – угол II четверти.

ПОЯСНЕНИЕ Обозначив , мы получили = sin y. Поэтому для решения задачи нам осталось найти sin y.

Так как у – угол II четверти, а во второй четверти знач ение синуса положительно, то

Ответ: = .

Пример 4. Найдите значение выражения .

Решение. Пусть .

Эта запись означает, что и . Определим углом какой четверти является у. Так как , т.е значение синуса положительно, то т.е у – угол I четверти.

tg y = ? 1)

2)

Ответ: = .