Задания для самостоятельного решения

131) Упростите выражение cos 7α cos 6α + cos α - sin 3α sin 5α.

132) Упростите выражение sin 4α cos 6α + sin(π – α) - sin 6α cos 4α.

ФОРМУЛЫ ДВОЙНОГО УГЛА

sin 2x = 2sin x cos x

cos 2x = cos²x – sin²x = 2cos²x – 1= 1 – 2sin²x

Эти формулы позволяют выразить тригонометрические функции синуса и косинуса какого нибудь угла, углом в два раза меньше. Например, с помощью этих формул можно от угла перейти к углу , от угла 4х перейти к углу 2х и так далее.

Примеры применения формул двойного угла

1. Упрощение выражений.

Пример. Упростите выражение .

Решение:

2. Вычисление значений тригонометрических выражений.

Пример 1. Вычислите .

Решение: Упростим дробь. Для этого в числители дроби применим формулу синуса двойного угла, а в знаменатели формулу косинуса двойного угла.

= = = .

Если в знаменатели мы не увидели косинус двойного угла, то вычисления можно было произвести иначе.

1 = sin²15⁰ + cos²15^0. Имеем, = =

= .

Пример 2. Найдите значение выражения , если .

Решение: Применим формулу двойного угла. Имеем, . , найдём cos x. x – угол IV четверти, поэтому cos s > 0. Имеем, Тогда Ответ: - 8.

Пояснение , поэтому х является углом либо I четверти, либо углом IV четверти. Так как , то х – угол IV четверти (в I четверти sinx > 0)

Пример 3.Найдите значение функции в точке .

Решение: Не забыли совет: если угол выражен в радианах и не является табличным углом, то лучше перевести радианы в градусы.

Тогда = - 1,5 – 0,5 = - 2.

Ответ: - 2.

Замечания:

1) При нахождении значения функции мы радианы перевели в градусы, но если:

а) вы хорошо считаете устно;

б) умеете свободно владеть формулами приведения, в которых углы записаны в радианах,

то радианы в градусы можно было не переводить.

2) При нахождении значения выражения можно было применить формулу синуса двойного угла.

и т.д.

Задания для самостоятельного решения

133) Упростите выражение . 1) 2cos³α; 2) sin²α; 3) cos α; 4) cos²α.

134 В) Упростите выражение .

135 В) Вычислите . 1) – 1; 2) ; 3) ; 4) 1.

136 В) Найдите значение выражения 25sin2x, если .

Решение тригонометрических уравнений

**ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ

Рассмотрим две функции y = f(x) и y = g(x) графики которых изображены на рисунке 1.

у у

y = f(x) y = g(x)

х х₁ х₂ х

Рис. 1

Функция y = f(x) каждое своё значение принимает один единственный раз т.е для любых двух значений аргумента х₁ и х₂ f(x₁) f(x₂). Геометрически это означает: любая горизонтальная прямая, которая пересекает график функции пересекает его только в одной точке.

Функция y = f(x) называется обратимой, если каждое своё значение она принимает один единственный раз.

Функция y = g(x) является необратимой. Например х₁ х_2, но g(x₁) = g(x₂). Геометрически это означает: горизонтальная прямая, которая пересекает график функции пересекает его более чем в одной точке (на рисунке таких точек пересечения три).

Если функция у = f(x) обратима, то выразив х из формулы у = f(x) и поменяв затем х и у местами получим обратную функцию.

Пример.

Функция обратима. D(y) = [0; +∞),

y y = x2 x Рис. 2

E(y) = (- ∞;0]. Задав любое у из промежутка [0; +∞) можно найти соответствующее х по формуле х = у2. Функция х = у2 при у 0 есть функция, обратная к функции Так как выбор букв для обозначения независимого и зависимого переменного несущественен поменяв местами х и у получим функцию у = х2 при х 0, которая является обратной функции . На рисунке 2 изображены графики взаимно обратных функций и у = х2.

ПОМНИ. Если функция является обратной функции , то:

1. Областью определения обратной функции является множество значений функции , а множество значений есть область определения функции ;

2. Графики и симметричны относительно прямой у = х.

3. Функцией, обратной к обратной функции , является исходная функция. Таким образом, функции и всегда взаимно обратны.

Теорема (об обратной функции).Если функция у = f(х) определена и возрастает (или убывает) на промежутке X и областью её значений является промежуток Y, то у неё существует обратная функция, причём обратная функция определена и возрастает (или убывает) на Y.

ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Арксинус.

у

1

х

- 1 у = sin x

На отрезке функция у =sin x возрастает и областью её значений является отрезок [-1;1].Значит, для функции у =sin x, рассматриваемой на отрезке существует обратная функция. Эту функцию обозначают у = arcsin x (читается «арксинус х»).

Свойства функции у = arcsin x

1. Область определения – отрезок [- 1;1];

2. Область значений – отрезок ;

3. Функция нечётная: arcsin (- x) = - arcsin x;

4. Функция возрастающая.

Так как записи у = arcsin x и x = sin y эквивалентны, то

арксинусом числа х [- 1;1] называется такое число у , синус которого равен х.

Пример. Вычислить: а) ; б) .

Решение: а) По определению = у, если и у .

Таким образом = . б) .