Задание для самостоятельного решения

125) Вычислите: а) sin 765⁰; б) cos (- 3630⁰); в) tg (- 585⁰); г) ctg930⁰.

СОВЕТ. Если α выражен не в градусах, а в радианах и не является табличным значением, то есть α ≠ 0, , , , , то лучше радианы перевести в градусы.

Помни, π = 180⁰.

Пример. Вычислите значение выражения .

Р ешение:

= = .

=cos180⁰ + sin 450⁰ + tg² 240⁰ = -1 +1 +( )² = 3. .

Ответ: 3. cos180⁰ = - cos 0⁰ = -1.

sin 450⁰ = sin(90⁰ +360⁰) = sin 90⁰ = 1.

tg 240⁰ = tg (180⁰ + 60⁰) = tg 60⁰ =

Задание для самостоятельного решения

126) Найдите значение выражения .

1) 1 - ; 2) 2; 3) 1 + ; 4) 1.

СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ

ФУНКЦИЯ ОДНОГО И ТОГО ЖЕ АРГУМЕНТА

ПРИМЕНЕНИЕ 1. Упрощение выражений. Пример 1. Упростите выражение . Решение: 1- cos2x = sin2x. Пример 2. Упростите выражение - 9sin2x + 4 – 9cos2x. Решение: - 9sin2x + 4 – 9cos2x = сгруппируем = (- 9sin2x – 9cos2x) + 4 = - 9(sin2x + cos2x) + 4 = 1

Пример 3. Упростите выражение .

Решение: Применим формулы приведения:

.

.

Имеем, = cos²α + sin²α – 3 = (cos²α + sin²α) – 3 = 1 – 3 = - 2.

2. Нахождение значения выражения.

Пример 1. Найдите значение выражения , если .

Решение: Применяя формулу приведения и формулу 3 имеем,

Ответ: - 0,75.

Пример 2. Найдите значение выражения сtg α, если

Решение:

Первый способ.

. Значение синуса α известно, найдём значение косинуса α. т.е α – угол IV четверти поэтому cosα > 0. Имеем, Тогда Ответ: -2.

Второй способ. Применим формулу .

Имеем, 1 + сtg²α = 5. сtg²α = 4. Найдём ctg α.

т.е α – угол IV четверти. Значит ctg α < 0. Имеем,

Ответ: - 2.

Задания для самостоятельного решения

127) Упростите выражение 8sin²x – 10 + 8cos²x.

1) 18; 2) – 18; 3) – 2; 4) 6sin²x cos²x.

128) Упростите выражение sin⁴x + sin²x cos²x. 1) sin²x; 2) sin x; 3) 2sin⁶x cos²x; 4) 1.

129) Упростите выражение .

1) 1; 2) 2 cos x; 3) cos x + sin x; 4) .

130) Найдите значение выражения

ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ

sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y cos(x + y) = cos x cos y – sin x sin y

sin(x – y) = sin x cos y – cos x sin y cos(x – y) = cos x cos y + sin x sin y

Примеры применения формул сложения при упрощении выражений.

Пример1. Упростите выражение cos 3α cos 5α – cos 2α + sin 3α sin 5α .

Решение: cos 3α cos 5α – cos 2α + sin 3α sin 5α = (cos 3α cos 5α + sin 3α sin 5α) – cos 2α =

cos(3α - 5α) – cos 2α = cos(-2α) – cos 2α =

cos(3α - 5α) cos2α – cos 2α = 0.

Пример 2. Упростите выражение .

Решение: Применим для упрощения выражения формулу синуса разности двух углов и формулу приведения.

=

- sinα