Задания для самостоятельного решения

122) Вычислите:

а) sin 60⁰; в) tg 45⁰; д) ; ж) sin 180⁰; и) tg π; л) ;

б) cos 30⁰; г) ; е) cos 0; з) ; к) sin (- 45⁰); м) .

123) Вычислите: а) ; б) 5sin 90⁰ + 2cos 0⁰ – 2sin270⁰ + 10cos180⁰;

в) .

2случай. является углом II или III или IV четвертей и, причём < 360⁰

900 II 1800 III IV 3600 2700

Для нахождения значений тригонометрических функций этих углов, применяя формулы приведения, переходим к острому углу, то есть к углу I четверти и находим значение соответствующей тригонометрической функции.

Пример: Вычислите sin 120⁰

Решение: 120⁰ – угол II четверти, поэтому 120⁰ можно представить как

90⁰ 90⁰ + 30⁰ 120⁰ = 90⁰ + 30⁰

или то есть или и применяя формулу

120⁰ 180⁰ - 60⁰ 120⁰ = 180⁰ - 60⁰

180⁰ приведения перейдём к углу 30⁰ или 60⁰.

Имеем,

или

При вычислении значения тригонометрической функций отрицательного угла, переходим к положительному углу, применяя чётность или нечётность соответствующей функции.

Пример. Вычислите tg(-315⁰).

3150 3600 2700

Р ешение: tg(-3150) = - tg 3150 = -tg(3600 – 450) = - (- tg 450) = tg 450 = 1. угол IV четверти поэтому 3150 = 2700 + 450 или 3150 = 3600 - 450

Задания для самостоятельного решения

124) Вычислите:

а) sin330⁰; б) sin(-225⁰); в) cos120⁰; г) cos(-315⁰); д) ctg240⁰; e) ctg(-135⁰).

3cлучай. > 360⁰.

Для нахождения значений тригонометрических функций углов больше 360⁰ применяется свойство периодичности функций.

Функции sin α и cos α имеют период 2πn, где n = 0; 1; 2;… .

2π – наименьший период функций sin α и cos α.

Справедливы равенства

1) sin(α + 2πn) = sin(α + 360⁰n) = sin α

где n = 0; 1; 2;…

2) cos (α + 2πn) = cos (α + 360⁰n) = cos α

Пример 1. Вычислите cos1110⁰.

Решение: Выясним, сколько целых оборотов содержится в 1110⁰.

1110 360 1080 3 30

Поэтому угол 11100 можно представить в виде 11100 = 300 + . Используя равенство 2) имеем .

Пример 2. Вычислите sin(-4005⁰).

Перейдём к Выясним, сколько

Р ешение: sin(-4005⁰) = положительному -sin4005⁰ = целых оборотов - =

углу содержится в 4005⁰

sin (- α) = -sin α и используем ра -

венство 1)

= - sin 45⁰= .

4005 360

360

405

360

45 Имеем, 4005⁰ =

Функции tg α и ctg α имеют период πn, где n = 0; 1; 2;… .

π – наименьший период функций tg α и ctg α.

Справедливы равенства

1) tg(α + πn) = tg(α + 180⁰n) = tg α

где n = 0; 1; 2;…

2) ctg (α + πn) = ctg (α + 180⁰n) = ctg α

П ример 1. Вычислите tg 540⁰. 540 180

Решение: tg 540⁰ = tg (0⁰ + . 540 3

0 Имеем, 540⁰ = 0⁰ +

Пример 2. Вычислите ctg (- 1845⁰).

Решение: ctg (- 1845⁰) = - ctg 1845⁰ = -

Пояснение: ctg (-α) = - ctg α 1845 180

180 10

45

0

45 Имеем,