Явища переносу у термодинамічних нерівноважних системах

Невпорядкованість теплового руху молекул газу, безперервні зіткнення між ними приводять до постійного перемішування частинок і зміни їх швидкостей і енергії.

Якщо в газі існує просторова неоднорідність густини, температури або швидкості впорядкованого переміщення окремих шарів газу, то рух молекул вирівнює ці неоднорідності. При цьому в газі відбуваються особливі процеси, об'єднані загальною назвою явищ переносу. До цих явищ належать дифузія, теплопровідність і внутрішнє тертя.

а) Дифузія у газах

Процес дифузії полягає у вирівнюванні густини або складу газу в об'ємі.

Якщо процес дифузії зводиться лише до вирівнювання густини, то в ньому беруть участь односортні молекули, тобто тут переноситься маса однієї речовини. Таку дифузію називають самодифузією.

Якщо у процесі дифузії відбувається вирівнювання складу газу по всьому об'ємі, то зустрічаємося з явищем, яке називається просто дифузією. Тут маса однієї речовини переноситься в середовище іншої. Отже, у цьому випадку процес дифузії полягає в тому, що кожна з компонент суміші переходить з тих частин об'єму газу, де її концентрація є більшою, туди, де вона є меншою.

Переміщення однієї або іншої компоненти суміші, або ж групи молекул односортної речовини під дією різниці концентрації або густини називається дифузійним потоком. Дифузійний потік визначається кількістю дифузної речовини, яка за одиницю часу проходить через одиницю площі, яка перпендикулярна до напрямку дифузії.

Перемішування молекул внаслідок їх теплового руху приводить до вирівнювання густини газу по всьому об'єму. Для того щоб існував неперервний, незалежний від часу (стаціонарний) перенос газу потрібна зовнішня дія. Вона повинна підтримувати незмінний розподіл густини за об'ємом газу і нейтралізувати вирівнювання густини внаслідок процесу дифузії.

Нехай газ міститься у посудині, яка має форму куба, з площею граней   і довжиною ребер  .

Об'єм, який займає газ, дорівнює об'єму посудини, тобто  , де   - середня швидкість молекул. У цьому об'ємі буде   молекул:  ,   - кількість молекул в одиниці об'єму.

Рух молекул у газі є однаково ймовірним у всіх напрямках, тобто в напрямку   буде рухатись   молекул. Нехай напрямок дифузійного потоку збігається з віссю  . Тоді в заданому напрямку   рухатиметься   молекул і у від'ємному напрямку   молекул. Отже, в напрямку перебігу дифузії рухатиметься   молекул. При цьому переноситься маса речовини:

.

Однак це б відбувалося, коли густина газу   була би сталою у всьому об'ємі. Але    . Тому за час   через поверхню   переноситься зліва направо і справа наліво різна кількість молекул:

,  .

Отже, загальна маса, яка переноситься через площадку  , дорівнюватиме:

.

Нехай на рівні площадки   є   молекул (рис.25). На відстанях, які дорівнюють середній довжині вільного пробігу, не змінюються ні величина, ні напрямок швидкості молекул і з двох боків площадки   буде   і   молекул.

Рис.25.

 

Підраховуючи кількість   молекул, що проходять за час   через   зліва направо, треба брати значення   в точці  , а, підраховуючи кількість   молекул, що проходять у зворотному напрямку, - в точці  .

Різниця   характеризує густину потоку молекул через поверхню під час дифузії.

Введемо градієнт концентрації:

.

Градієнт концентрації описує зміну концентрації з відстанню у напрямку, протилежному до напрямку перебігу дифузії (рис.26).

Рис.26.

 

Тоді:

,

.

         В результаті цього загальна маса, яка переноситься через площадку  , дорівнюватиме:

.

         Оскільки густина газу   і:

,

маємо:

,

де:

.

Маса газу  , що переноситься завдяки дифузії через поверхню  , яка перпендикулярна до напрямку  , в якому зменшується густина, пропорційна до розміру цієї поверхні, проміжку часу   переносу і градієнта густини  .

Формула для маси  , що переноситься, називається рівнянням дифузії, або законом Фіка.

Коефіцієнт пропорційності   називається коефіцієнтом дифузії. Покладаючи  ,  ,  , отримаємо  , тобто коефіцієнт дифузії чисельно дорівнює масі газу, що переноситься через поверхню   за   при  .

Оскільки   і  , то   залежить від сорту газу   і його стану  :

.

Незважаючи на велику швидкість хаотичного руху газових молекул, дифузія відбувається повільно. Це пояснюється тим, що внаслідок численних зіткнень між молекулами вони проходять шлях значно більший, ніж відстань по прямій між двома точками в газі.

У разі взаємодифузії двох газів рівняння дифузії залишається справедливим, а коефіцієнт взаємодифузії:

,

де   і   - концентрації молекул першого і другого газів.

 

б) Теплопровідність газів

Теплопровідність має місце, коли існує різниця температур, викликана будь-якими зовнішніми причинами. Виникнення потоку тепла в газі називається теплопровідністю. Молекули газу в різних місцях його об'єму мають різні середні кінетичні енергії. Тому при хаотичному тепловому русі молекул відбувається перенос енергії. Молекули, що потрапили з нагрітих частин газу в холодніші, віддають надлишок своєї енергії навколишнім частинкам. Навпаки, молекули, що повільно рухаються, потрапляючи з холодних частин в тепліші, збільшують свою енергію за рахунок зіткнень з молекулами, що мають більші швидкості.

Нехай в деякому об'ємі газу температура   зменшується в напрямку   (рис.27). Позначимо через   і  , значення температури на відстанях   від поверхні  , причому  . Оскільки кінетична енергія газової молекули:

,

Рис.27.

то  . Тому в напрямку зменшення температури буде відбуватися перенос енергії, а, отже, і кількості теплоти  , оскільки внутрішня енергія газу складається з кінетичної енергії його молекул.

 

Зліва направо рухатиметься кількість молекул, яка дорівнює  , а справа наліво  .

Відповідно при цьому буде переноситися кількість теплоти:

,

.

Загальна кількість теплоти, яка буде переноситися при теплопровідності, дорівнюватиме:

.

Середня енергія молекули дорівнює:

.

Тому:

.

Якщо градієнт температури   поблизу площадки  , то  , бо   - зміна температури на одиницю довжини. Знак "–" показує, що зростанню   відповідає спадання  .

Звідси:

,

а коефіцієнт теплопровідності:

         Отже,

.

Отриманий вираз називається законом теплопровідності Фур’є.

Кількість теплоти  , яка переноситься через поверхню  , перпендикулярну до напрямку  , в якому зменшується температура, пропорційна розміру цієї поверхні, проміжку часу   переносу і градієнта температури  .

Коефіцієнт теплопровідності чисельно дорівнює кількості теплоти, що переноситься через поверхню в   за   при градієнті температури  .

Оскільки середня довжина вільного пробігу  , а густина газу  , то добуток   не залежить від тиску. Тому коефіцієнт теплопровідності   не залежить від тиску.

Однак у сильно розріджених газах, які знаходяться в посудині,   може виявитися залежним від тиску. Будемо розріджувати газ, що знаходиться в кубічній посудині з ребром  . При цьому   буде збільшуватися, а   - зменшуватися. Тому добуток  , а, отже, і   залишиться постійним.

Понизимо тиск до такого ступеня, що   дорівнюватиме  . Тоді при подальшому розрідженні   буде зменшуватися, а   уже не зможе збільшуватися. Тому добуток   і   будуть тепер зменшуватися разом із зменшенням тиску.

Якщо  , то   не залежить від тиску  , якщо  , то  .

Введемо поняття потоку тепла. Під потоком тепла розуміють кількість теплоти, яка проходить через одиницю площі за одиницю часу.

.

Напрямок потоку тепла збігається з напрямком падіння температури. Тепло тече в напрямку зростаючого значення  . Потік тепла спрямований так, щоб зменшувати наявний градієнт температури, який його викликав.

У стаціонарних умовах кількість тепла  , що проходить за одиницю часу через газ, дорівнює потужності джерела енергії, за рахунок якого підтримується заданий градієнт температури.

 в) Внутрішнє тертя у газах

Явище внутрішнього тертя пов'язано з виникненням сил тертя між шарами газу або рідини, що переміщуються паралельно один до одного з різними за величиною швидкостями. З боку шару, що рухається швидше, на шар, який рухається повільніше, діє прискорювальна сила. Навпаки, шар, що повільно рухається, гальмує шари газу, які рухаються швидше. Сили тертя, які при цьому виникають, напрямлені по дотичній до поверхні зіткнення шарів.

З погляду кінетичної теорії газів причиною внутрішнього тертя є накладання впорядкованого руху шарів газу з різними швидкостями на хаотичний тепловий рух молекул, інтенсивність якого залежить від температури. Завдяки тепловому руху молекули переходять з шару, що рухається з швидкістю   у шар, який рухається з швидкістю  . При цьому молекули переносять імпульс   свого впорядкованого руху.

Якщо різниця швидкостей руху різних шарів газу зовнішніми силами підтримується сталою, то і потік імпульсу від шару до шару буде сталим (стаціонарним), причому цей потік буде спрямований уздовж зменшення швидкості. З таким випадком зустрічаємось при повільній течії газу (або рідини) між двома пластинами або у трубі під впливом сталої зовнішньої різниці тисків, спрямованої вздовж руху.

Коли газ тече вздовж труби, то швидкості різних шарів розподілені так, як показано на рис.28. Найбільша швидкість спостерігається в середній частині труби, що прилягає до осі, у міру наближення до стінок швидкість зменшується, а шар, що безпосередньо прилягає до стінок труби, перебуває у спокої. При такій течії імпульс переноситься від центрального шару, де швидкість найбільша, до шарів, які рухаються з меншою швидкістю. Через те, що цей процес пов'язаний зі зміною імпульсу, то газ поводить себе так, як коли б на нього діяла якась сила (сила внутрішнього тертя).

Рис.28.

 Кількісно перенесення імпульсу можна описати так само, як перенесення енергії у процесі теплопровідності.

Розглянемо площадку  , паралельну швидкості течії газу і перпендикулярну до осі   (рис.29). Нехай  . Завдяки обміну молекулами між обома шарами газу (обмін відбувається завдяки тепловим рухам) ця різниця зменшується.

Рис.29.

Молекули праворуч від   заміщуються іншими молекулами, які надійшли зліва і мають більший імпульс. У разі зіткнення цих молекул з молекулами, що були до цього праворуч від  , більша швидкість течії розподілиться між усіма молекулами праворуч, після чого швидкість течії Цього шару, а, отже, й імпульс стануть більшими. Водночас швидкість та імпульс шару газу, який знаходиться ліворуч від  , зменшується.

Отже, обмін молекулами, зумовлений тепловими рухами, приводить до вирівнювання швидкостей течії різних шарів газу. Таким є механізм переносу імпульсу в напрямку осі   від одного шару газу, який тече, до другого.

Величина потоку імпульсу  , який переноситься за одиницю часу через одиницю площі площадки  , визначається різницею імпульсів   і  , які переносяться молекулами, що перетинають площадку   зліва і справа відповідно.

Зліва направо рухатиметься кількість молекул, яка дорівнює:

,

а справа наліво:

.

Припускаємо, що всі молекули рухаються з однаковою тепловою швидкістю  .Через площадку   протікатимуть лише ті молекули, які перебувають на відстані  . Молекули, завдяки наявності в них теплової швидкості  , мають імпульс  . Цей імпульс не розглядається. А мова йде про той імпульс  , який мають молекули завдяки тому, що вся маса газу рухається поступально.

Молекули, які рухаються зліва направо, переносять імпульс:

.

Відповідно, молекули, які рухаються справа наліво, переносять імпульс:

.

Повна зміна імпульсу молекул:

.

Якщо градієнт швидкості   поблизу площадки  , то  , оскільки   - зміна швидкості на одиницю довжини. Знак ” – ” показує, що зростанню   відповідає спадання  .

Звідси  , де  . Оскільки зміна імпульсу дорівнює імпульсу діючої сили, то  , де   - сила взаємодії між шарами газу, що діє у поверхні їх дотику:

,

або

.

Це рівняння внутрішнього тертя, або закон Ньютона.

Сила внутрішнього тертя, що виникає у площині дотику двох шарів газу, що ковзають один відносно одного, пропорційна до площі їх дотику   і градієнта швидкості  .

Коефіцієнт пропорційності   називається коефіцієнтом внутрішнього тертя або динамічною в'язкістю:

.

Приймаючи  ,  , маємо  , тобто коефіцієнт в'язкості чисельно дорівнює силі внутрішнього тертя, що діє на   поверхні дотику шарів газу, що рухається паралельно при градієнті швидкості  ,  .

Внаслідок пропорційності   добутку   виходить, що, як і  , коефіцієнт внутрішнього тертя не залежить від тиску, за винятком сильно розрідженого газу, коли середня довжина вільного пробігу молекул стає більшою від розмірів посудини.

Вперше найбільш систематичні дослідження температурної залежності коефіцієнта внутрішнього тертя для різних газів виконав український вчений І.П. Пулюй. Зокрема, він досліджував повітря, вуглекислий газ, водень, а також пару води, спирту, бензину, ефіру та їх сумішей. Він показав, що з підвищенням температури   зростає за законом  , причому  .

Крім того, він довів, що значення коефіцієнта в'язкості суміші газів, які хімічно не взаємодіють між собою, лежить між значеннями коефіцієнтів внутрішнього тертя компонент.

Поряд з динамічною в'язкістю   використовується також кінематична в'язкість  , яка визначається як динамічна в'язкість, поділена на густину:  .

Між коефіцієнтами переносу існують такі співвідношення:

,  ,  .

Наявність цього зв'язку між коефіцієнтами процесів переносу обумовлена однаковістю фізичної природи процесів переносу і тим, що всі вони описуються однаковими рівняннями.