Тема 3. Складання коливань

При складанні двох однаково направлених гармонічних коливань однакової частоти виходить гармонічне коливання тієї ж частоти, але з іншою амплітудою і початковою фазою. Ці величини знаходять з векторної діаграми коливань, що складаються.

Рівняння плоскої хвилі виражає залежність зміщення y від часу t і відстані точки, що коливається, від джерела коливань x :

,

де v - швидкість розповсюдження коливань:

.

Побудувати векторну діаграму складання цих коливань і написати рівняння результуючого коливання.

Для побудови векторної діаграми складання двох коливань одного напряму треба зафіксувати якийсь момент часу. Звичайно векторну діаграму будують для моменту часу t=0. Перетворивши обидва рівняння до канонічної форми , одержимо:

,

.

Звідси видно, що обидва гармонічні коливання, які складаються, мають однакову циклічну частоту:

. (13)

Початкові фази першого і другого коливання відповідно дорівнюють:

, (14)

. (15)

Підставимо чисельні значення величин у формули (13), (14), (15) і проведемо розрахунки:

, , .

На рис.1 зобразимо вектори і Для цього відкладемо відрізки завдовжки А₁ =3см і А₂=2см під кутами та до осі Х. Результуюче коливання відбуватиметься з тією ж частотою та амплітудою А, рівною геометричній сумі амплітуд А_1, А₂: .Згідно з теоремою косинусів:

. (16)

Рис.1

Б иття́ — інтерференція двох звукових коливань, з частотами   і   настільки близькими, що вони не сприймаються як два роздільні коливання. Амплітуда коливань, які виникають при цьому періодично збільшується чи зменшується у часі з частотою, рівною різниці інтерферуючих коливань.

Різниця фаз таких коливань з часом змінюється, через що фази періодично збігаються (коливання підсилюють одне одне) або стають протилежними (коливання взаємно ослаблюються). Підсилення і ослаблення результативних коливань відбуваються періодично з частотою  , що дорівнює різниці частот взаємодіючих коливань, тобто  . В акустиці биття використовуються для порівняння тонів (наладнання муз. інструментів). Якщо різниця частот коливань двох джерел дуже мала (напр., менша ніж 0,1 Гц), то вухо сприймає їх як один результативний тон, інтенсивність якого змінюється з частотою, рівною  . Коли частоти складових коливань зближуються, то частота биття зменшується і при  . Якщо порівнювати тони методом биття, то похибка може не перевищувати 0,1 Гц. В електромагнітних коливаннях явище биття використовується в чутливих приймачах радіосигналів та вимірювальних приладах.

Тема 4. Механічні хвилі

Хви́ля — зміна стану середовища (збурення), яке поширюється в просторі й переносить з собою енергію.

Середовищем, у якому поширюються хвилі, може бути як речовина, так і вакуум, наприклад, у випадку електромагнітних хвиль.

Хвилі характеризуються величиною збурення: амплітудою й напрямком поширення. Швидкість поширення хвилі визначається властивостями середовища.

Хвилі бувають періодичні й неперіодичні (в граничному випадку — самотні хвилі, солітони, такі як цунамі).

Залежно від геометричної форми фронту хвилі поділяються на плоскі й сферичні, хоча у випадку розсіяння на перешкодах фронт хвилі може набирати складної просторової форми.

Згідно з корпускулярно-хвильовим дуалізмом, що є основою квантової механіки будь-яка частка має хвильові властивості, а хвилі випромінюються й поглинаються скінченними порціями — квантами.

Довжина хвилі — характеристика плоскої періодичної хвилі, що позначає найменшу відстань між точками простору, в яких хвиля має одинакову фазу.

Довжина хвилі зазвичай позначається грецькою літерою λ.

Із довжиною хвилі однозначно зв'язана така характеристика, як хвильове число k

.

Довжина хвилі залежить від частоти. Ця залежність називається законом дисперсії. Часто залежність між частотою і довжиною хвилі обернено-пропорційна. У таких випадках швидкість розповсюдження хвилі фіксована й не залежить від частоти. Наприклад, для електромагнітної хвилі у вакуумі

де ν — лінійна частота, а c — швидкість світла.

Аналогічно, для звукових хвиль

де s — швидкість звуку.

При переході хвилі з одного середовища в інше довжина хвилі змінюється, на відміну від частоти, яка залишається сталою. Електромагнітні хвилі в середовищі зазвичай характеризуються приведеною довжиною хвилі, тобто довжиною, яку хвиля мала б у вакуумі.

Фронт хвилі — поверхня у просторі, коливання в кожній точці якої при поширенні хвилі мають однакову фазу.

У випадку плоскої монохроматичної хвилі фронт хвилі — площина, перперндикулярна хвильовому вектору. При випромінюванні точкового джерела фронт хвилі — сфера.

В загальному випадку фронт хвилі — складна поверхня, яку в кожній точці можна охарактеризувати двома радіусами кривини.

Рівняння хвилі: де u — невідома функція, яка описує хвилю, x — просторова координата, t — час, s — фазова швидкість поширення хвилі.

Поверхневі акустичні хвилі (ПАР) - пружні хвилі, що поширюються уздовж поверхні твердого тіла або уздовж кордону з іншими середовищами. ПАР поділяються на два типи: з вертикальної поляризацією і з горизонтальною поляризацією (хвилі Лява).

До найбільш часто зустрічається окремих випадків поверхневих хвиль можна віднести наступні: ^[2]

• Хвилі Релея (або релєєвськоє), в класичному розумінні поширюються уздовж кордону пружного півпростору з вакуумом або достатньо розрідженій газовим середовищем.

• Затухаючі хвилі релєєвського типу на кордоні твердого тіла з рідиною.

• Незгасаючих хвиля з вертикальною поляризацією, що біжить по межі рідини і твердого тіла

• Хвиля Стонлі, що розповсюджується вздовж плоскої межі двох твердих середовищ, модулі пружності та щільності яких не сильно різняться.

• Хвилі Лява - поверхневі хвилі з горизонтальною поляризацією (SH типу), які можуть поширюватися в структурі пружний шар на пружному півпросторі.

Ефект Доплера — явище зміни частоти хвилі, яку реєструє приймач, викликане переміщенням джерела або приймача.

У 1845 році голландський метеоролог, іноземний член-кореспондент Петербурзької академії наук Христофор Бейс-Баллот (1817–1890) вирішив перевірити гіпотезу Доплера. Він найняв паровоз з вантажною платформою, посадив на платформу двох сурмачів і попросив їх тримати ноту соль (два сурмачі були потрібні для того, щоб один з них міг набирати повітря, поки інший тягне ноту, і таким чином звук би не уривався). На пероні одного полустанка між Утрехтом і Амстердамом Бейс-Баллот розмістив декількох музикантів без інструментів, але з абсолютним музичним слухом. Після чого паровоз став з різною швидкістю тягати платформу з сурмачами повз перон із слухачами, а ті відзначали, яку саме ноту вони чують. Потім спостерігачів змусили їздити, а сурмачі грали, стоячи на пероні. Досліди тривали два дні, в результаті чого був доведений ефект відкритий Доплером.

Звук — коливальний рух частинок пружного середовища, що поширюється у вигляді хвиль у газі, рідині чи твердому тілі. Більшість явищ у природі супроводжуються характерними звуками, які сприймаються та розпізнаються вухом людини і тварин і служать для орієнтування та спілкування. Розділ науки, що вивчає звуки, називається акустикою.

Характеристиками звуку є частота, довжина хвилі, амплітуда і швидкість, а також тембр.