7.3.3. Электрическое поле точечного источника постоянного тока над двухслойной средой.
Простейшей,
но очень важной для практики электроразведки
методом сопротивлений, одномерной
прямой задачей является задача об
электрическом поле и кажущемся
сопротивлении на поверхности
полупространства, верхнее из которых
воздух, а нижнее - двухслойная горизонтально
слоистая среда с мощностью верхнего
слоя
,
нижнего
,
УЭС слоев
и
(воздух)
(см. рис. 3.3).
Поставленная
задача могла бы быть решена с помощью
уравнения (3.2), которое при
превращается
в уравнение Лапласа
,
где
-
потенциал в любой точке М с напряженностью
электрического поля
.
|
Рис.. 3.3. Решение прямой задачи о поле точечного источника постоянного тока над двухслойной средой методом зеркальных отражений |
Однако
ее можно быстро решить методом зеркальных
отражений. Согласно правилам метода
зеркальных отражений, урав-нение Лапласа
и физические требования, в том числе
граничные условия, выполняются, если
потенциал в одномерной среде, где
расположен точечный источник, принять
равным сумме потенциалов этого источника
(
)
и всех его многократных отражений от
границ раздела (
)
с коэффициентами отражений, равными на
границе I
,
а на границе II
(т.к.
).
На рис. 3.3 показано, как эти источники расположены. При этом обозначено
|
где
.
Таким образом, искомое выражение для потенциала получает вид:
|
(3.9) |
Выражение
для КС (3.1) можно записать в виде:
,
где
-
напряженность электрического поля. Но
,
поэтому
.
Подставив в эту формулу производную
из
(3.9), получим
|
Откуда
|
(3.10) |
Анализируя
эту формулу, можно найти асимптотические
выражения
,
равные
и
.
В самом деле, при
,
при
|
(т.к.
,
а
равна
как
сумма членов геометрической прогрессии).
С
помощью формулы (3.10), справедливой для
трехэлектродной и симметричной
четырехэлектродной градиент-установок,
принято строить теоретические двухслойные
кривые - графики зависимости
)
от
.
Они называются двухслойными теоретическими
кривыми ВЭЗ (вертикальное электрическое
зондирование) (см. 8.2), или двухслойной
палеткой ВЭЗ (см. рис. 3.4).
|
Рис. 3.4. Двухслойная палетка ВЭЗ: 1 и 2 - теоретические и полевая кривые |
Более громоздкое решение получается в задаче о поле точечного источника над многослойной горизонтально слоистой средой, а еще сложнее решение для такой же среды, но при возбуждении поля дипольными гармоническими или импульсными источниками.
Одномерные прямые задачи электроразведки для многослойных горизонтально слоистых сред для любых первичных полей все-таки сводятся к аналитическим формулам для расчета КС. В результате принято строить кривые КС, аналогичные приведенным на рис. 3.4.
Двухмерные и трехмерные прямые задачи электроразведки сводятся к аналитическим формулам лишь для тел простой формы (шар, пласт, цилиндр) в однородной среде. В более общих случаях получаются лишь приближенные численные решения, получаемые с помощью ЭВМ.