Световой конус
Именно инвариантная структура этого пространства, задаваемая постулатами СТО, не меняется при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой. Используя только две пространственные координаты (x, y), четырёхмерное пространство можно изобразить в координатах (t, x, y). События, связанные с событием начала координат (t=0, x=y=0) световым сигналом (светоподобный интервал) лежат на так называемом световом конусе (см. рисунок справа).
Метрический тензор
Расстояние между двумя бесконечно близкими событиями можно записать при помощи метрического тензора gαβ в тензорном виде:
где (x0,x1,x2,x3) = (ct,x,y,z), а по повторяющимся индексам подразумевается суммирование от 0 до 3. В инерциальных системах отсчёта с декартовыми координатами метрический тензор имеет следующий вид:
Кратко
эта диагональная матрица обозначается
таким образом:
.
Выбор недекартовой системы координат (например, переход к сферическим координатам) или рассмотрение неинерциальных систем отсчёта приводит к изменению значений компонент метрического тензора. Однако, в рамках специальной теории относительности, всегда существует преобразование координат и времени, которое делает метрический тензор диагональным, с сигнатурой . Эта физическая ситуация соответствует переходу в инерциальную систему отсчёта с декартовыми координатами. Другими словами четырехмерное пространство-время специальной теории относительности является плоским (псевдоевклидовым). В отличие от этого, общая теория относительности (ОТО) рассматривает искривлённые пространства, в которых метрический тензор ни каким преобразованием координат нельзя привести к псевдоевклидовому виду во всём пространстве.
4-вектор
Соотношения
СТО могут быть записаны в тензорном
виде при помощи введения вектора с
четырьмя компонентами Aα
= (A0,A1,A2,A3)
(цифра или индекс вверху компоненты
является её номером, а не степенью!).
Нулевую компоненту 4-вектора называют
временно́й, а компоненты с индексами
1,2,3 — пространственными. Они
соответствуют компонентам обычного
трёхмерного вектора, поэтому, 4-вектор
обозначается также следующим образом:
.
Компоненты 4-вектора, измеренные относительно двух инерциальных систем отсчёта, движущихся с относительной скоростью v, связаны друг с другом следующим образом:
Примерами 4-векторов являются: точка в псевдоевклидовом пространстве-времени xα, характеризующая событие и энергия-импульс pα:
.
При помощи метрического тензора можно ввести т. н. ковекторы, которые обозначаются той же буквой, но с нижним индексом:
Aα = gαβAβ = gα0A0 + gα1A1 + gα2A2 + gα3A3.
Для
диагонального метрического тензора с
сигнатурой gαβ
= diag(1, − 1, − 1, − 1),
ковектор отличается от 4-вектора знаком
перед пространственными компонентами.
Так, если
,
то
.
Свёртка вектора и ковектора является
инвариантом и имеет одинаковое значение
во всех инерциальных системах отсчёта:
Например, свёртка (квадрат — 4-вектора) энергии-импульса пропорциональна квадрату массы частицы:
.
7. Экспериментальные основания сто
В 1930-е годы был проведен ряд экспериментов для проверки главного постулата СТО — постоянства скорости света. Некоторые измерения (Миллер и др.) поставили его под сомнение, однако точные эксперименты Мак-Кеннеди подтвердили этот факт[23]. Постепенно накапливались опытные подтверждения СТО. На ней основаны квантовая теория поля, теория ускорителей, она учитывается при проектировании и работе спутниковых систем навигации (здесь оказались нужны даже поправки общей теории относительности) и т. д.
Ряд экспериментов по проверке эффектов СТО и ОТО был проведен в конце XX века; их результаты находятся в полном согласии с теорией. Тем не менее исследования с целью найти границы применимости теории относительности продолжаются[24].
Исторический очерк
От Галилея до Максвелла
