3.3. Правило крамера.

Розглянемо систему (3.3). Назвемо головним визначником цієї системи визначник , елементами якого є коефіцієнти при невідомих:

.

Припустимо спочатку, що Помножимо кожне рівняння системи (3.3) на алгебраїчні доповнення елементів j-го стовпця

Склавши потім усі рівняння, одержимо:

. (3.5)

Відзначимо, що . (j-й стовпець)

(Результат отриманий з розкладання визначника по j-му стовпці). Такий визначник дорівнює 0 при і дорівнює при i=j. Права частина рівності (3.5) являє собою визначник , у якому замість i-го стовпця стоїть стовпець вільних членів системи (3.3). Назвемо такий визначник . Розглядаючи i=1,2,…,n, одержимо систему, еквівалентну вихідній:

(3.6).

Розділивши всі рівняння на , знайдемо єдиний розв’язок: .

Припустимо тепер, що =0. Тоді система (3.6) набуде вигляду: .

У цьому випадку, якщо всі =0, система виглядає так: і має нескінченно багато розв’язків. Якщо ж хоча б один із система розв’язків не має.

Таким чином, правило Крамера дозволяє знайти єдиний розв’язок системи (3.3) або зробити висновок про існування нескінченного числа розв’язків або про їх відсутність:

Якщо система (3.3) має єдиний розв’язок, обумовлений по формулами: .

Якщо = =0, система має нескінченно багато розв’язків.

Якщо =0, а хоча б один із система розв’язків не має.

Приклади:

1. Розглянемо систему , розв’язану в попередньому питанні методом Гаусса, і застосуємо до неї правило Крамера. Знайдемо всі потрібні визначники:

отже, система має єдиний розв’язок.

Звідси

2. . Тут оскільки має два однакових стовпці.

Отже, система не має єдиного розв’язку. Знайдемо і

тому система має нескінченно багато розв’язків.

3. . Для цієї системи але отже, розв’язків немає.

3.4. Розв’язок системи лінійних рівнянь за допомогою оберненої матриці.

Розглянемо лінійну систему (3.3): і введемо наступні позначення: – матриця системи, – стовпець невідомих,

– стовпець вільних членів. Тоді систему (3.3) можна записати у виді матричного рівняння:

АХ=В. (3.7)

Нехай матриця А – невирождена, тоді існує обернена до неї матриця

Помножимо обидві частин рівності (3.7) зліва на Одержимо

Але тоді , а оскільки

(3.8)

Отже, розв’язком матричного рівняння (3.7) є добуток матриці, оберненої до А, на стовпець вільних членів системи (3.3).

Приклад.

Повернемося до системи

Для неї Знайдемо :

Отже,

Таким чином, х=1, у=2, z=3.

Лекція 9-10. Поняття вектора. Лінійні операції над векторами. Скалярний добуток двох векторів. Векторний і мішаний добуток двох векторів.

4.1. Поняття вектрора

При вивченні різних розділів фізики зустрічаються величини, які цілком визначаються заданням їхніх чисельних значень, наприклад, довжина, площа, маса, температура і т.д. Такі величини називаються скалярними. Однак, крім них зустрічаються і величини, для визначення яких, крім чисельного значення, необхідно знати також їх напрям у просторі, наприклад, сила, що діє на тіло, швидкість і прискорення тіла при його русі в просторі і т.д. Такі величини називаються векторними.

В ведемо визначення вектора. Вектором називається напрямлений відрізок, який має визначену довжину, тобто це відрізок визначеної довжини, у якого одна з обмежуючих його точок приймається за початок, а друга – за кінець. Якщо A – початок вектора, B – його кінець, то вектор позначається символом , крім того, вектор часто позначається однією буквою . На рисунку вектор позначається відрізком, а його напрямок стрілкою.

Довжиною (модулем) вектора називають довжину його напрямленого відрізка. Позначається або .

До векторів будемо відносити і так називаний нульовий вектор, у якого початок і кінець збігаються. Він позначається . Нульовий вектор не має визначеного напрямку і модуль його дорівнює нулю =0.

Вектори і називаються колінеарними, якщо вони розташовані на одній прямій або на паралельних прямих. При цьому якщо вектори і однаково напрямлені, будемо писати , протилежно .

Вектори, розташовані на прямих, паралельних до однієї і тієї ж площини, називаються компланарними.

Два вектори і називаються рівними, якщо вони колінеарні, однаково напрямлені і рівні по довжині. У цьому випадку пишуть .

З визначення рівності векторів випливає, що вектор можна переносити паралельно самому собі, поміщаючи його початок у будь-яку точку простору.

Наприклад.

1. Якщо дано вектор , то, вибравши будь-яку точку , можемо побудувати вектор , рівний даному, і притому тільки один, або, іншими словами, перенести вектор у точку .

Якщо розглянути квадрат ABCD, то на основі визначення рівності векторів, ми можемо написати і , але , , хоча усі вони мають однакову довжину.