116. Сферичні координати в просторі

Розглянемо три взаємно перпендикулярних осі Ox, Oy, Oz із загальним початком O.

Нехай M – будь-яка, відмінна від O точка простору, N – її проекція на площину Oxy,  – відстань M від O. Нехай далі,  – кут, що утворює напрямлений відрізок з віссю Oz, а  – кут, на який потрібно повернути проти годинникової стрілки вісь Ox до сполучення з променем ON.  і  називають широтою і довготою відповідно (рис. 6).

Сферичними координатами точки M називаються три числа ,  і .

Позначення M(, , ).

Для взаємно однозначної відповідності між декартовими і сферичними системами координат, вважають, що

, , .

Якщо осі сферичної системи координат збігаються з осями декартової системи координат у просторі, то зв'язок між координатами точки M у сферичній і декартовій системах визначають співвідношеннями:

5.7. Перетворення декартових координат

Рис. 7

Рис. 8

Паралельне перенесення

Паралельним перенесенням називається зміна координат при якому змінюється положення початку координат, а напрямок координатних осей і масштаб залишаються незмінним.

Запишемо формули перетворення координат довільної точки при паралельному перенесенні декартових координат.

Нехай Ox і Oy – старі, а O’x’ і O’Y’ – нові координатні осі. Положення нових осей, щодо старої системи, визначається заданням у старій системі координат нового початку: O’(a, b). Число a будемо називати величиною зсуву по напрямку осі Ox, число b – величиною зсуву по осі Oy. Нехай довільна точка M відносно старої системи має координати (x, y), а ця ж точка в новій системі має координати (х',у') (рис. 7).

Очевидно, що для напрямлених відрізків виконано OM_x=a+O’M_x’ і OM_y=b+O’M_y’

Звідси і отримаємо формули для перетворення:

або

Поворот навколо початку координат

Поворотом осей називається зміна координат при який обидві осі повертаються в одну сторону на той самий кут, а початок координат і масштаб залишаються незмінними.

Нехай Ox і Oy – старі, а Ox’ і OY’ – нові координатні осі. Положення нових осей відносно старої системи визначається заданням кута повороту, що сполучає старі осі з новими. Позначимо цей кут через . Нехай довільна точка M відносно старої системи має координати (x,y), а ця ж точка в новій системі має координати (х',у') (рис. 8). Для отримання формул перетворення координат введемо стандартні полярні системи координат відносно старої і нової систем. Нехай у старих полярних координатах точка M визначається координатами (,), а в новій системі (,’). Тоді =’+. Далі з формул переходу для полярних координат маємо

x=cos, y=sin,

аналогічно

х'=cos’, у'=sin’.

Таким чином

x=cos= cos(’+) = (cos’cos  sin’sin) =

cos’cos  sin’sin = x’cos  y’sin,

y=sin= sin(’+) = (cos’sin  sin’cos) =

cos’sin  sin’cos = x’sin  y’cos.

Остаточно отримуємо:

або .

Лекція 12. Пряма на площині. Пряма на площині. Різні види рівнянь прямої на площині. Кут між двома прямими. Відстань від точки до прямої.

Означення. Рівняння F (x, y) = 0 називається рівнянням деякої лінії в заданій системі координат, якщо це рівняння задовольняють координати (х, у) будь-якої точки, що лежить на цій лінії, і не задовольняють координати жодної точки, що не лежить на цій лінії.

12.1. Пряма лінія на площині

Рис. 2.14

Нехай задано деяку пряму (рис. 2.14), знайдемо її рівняння.

Точка М (х, у) лежить на прямій тоді і тільки тоді, коли виконується умова

.

Позначимо tg  = k і назвемо цю величину кутовим коефіцієнтом прямої лінії. Тоді, враховуючи, що NM = y – b, BN = x, маємо рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

у = kx + b. (2.14)

Нехай деяка точка М1 (х1, у1) належить заданій прямій, тоді у1 = kx1 + b. Знайдемо з цього рівняння значення b і, підставивши його в рівняння прямої (2.14), дістанемо:

у – у1 = k (х – х1) (2.15)

— рівняння прямої, що проходить через задану точку М1 (х1, у1).

Нехай ще одна точка М2 (х2, у2) також належить заданій прямій, тоді з означення лінії маємо:

у2 – у1 = k (x2 – x1).

Знайдемо значення k з останнього співвідношення і, підставивши його в рівняння прямої (2.15), дістанемо:

. (2.16)

Останнє рівняння (2.16) називається рівнянням прямої, що проходить через дві задані точки.

У прямокутній системі координат пряма лінія задається рівнянням першого степеня відносно х і у.

Ах + Ву + С = 0, (2.17)

і навпаки, рівняння (2.17) при довільних А, В, С (А і В одночасно не дорівнюють нулю) визначає деяку пряму в прямокутній системі координат Оху.

Рівняння (2.17) називається загальним рівнянням прямої лінії. Дослідимо це рівняння.

1. С = 0, А  0, В  0, тоді Ах + Ву = 0 і останнє визначає пряму, що проходить через початок системи координат, бо точка О (0, 0) лежить на цій прямій.

2. В = 0, А  0, С  0, тоді Ах + С = 0, або , де а — довжина відрізка, що його пряма відтинає на осі Ох, а сама вона розміщена паралельно осі Оу, якщо С = 0, то х = 0 маємо рівняння самої осі Оу.

3. А = 0, В  0, С  0, тоді Ву + С = 0, або , де b — довжина відрізка, що відтинає пряма на осі Ох, при с = 0 маємо у = 0 — рівняння осі Ох.