11.1. Системи координат на площині і в просторі.
Декартові координати на прямій.
Декартові координати на прямій вводяться таким чином. Виберемо на прямій визначений напрямок і деяку точку O (початок координат). Крім того, вкажемо одиницю масштабу (рис. 1).
Розглянемо довільну точку M на прямій.
Декартовою
координатою x точки M
будемо називати величину напрямленого
відрізка
.
Позначимо M(x).
Теорема:
Нехай M1(x1)
і M2(x2)
– дві точки на осі, тоді величина
напрямленого відрізка
дорівнює x1-x2,
тобто
.
Наслідок:
Відстань
між точками M1(x1)
і M2(x2)
може бути знайдена за формулою
.
11.2. Декартові координати на площині
Дві перпендикулярні осі на площині з загальним початком і однаковою масштабною одиницею утворюють декартову прямокутну систему координат на площині (рис. 2).
Одна з осей називається віссю Ox, або віссю абсцис, інша – віссю Oy, або віссю ординат. Ці осі називають також координатними осями.
Позначимо через Mx і My відповідно проекції довільної точки M площини на осі Ox і Oy.
Декартовими
прямокутними координатами x і y точки M
будемо називати відповідно величини
напрямлених відрізків
і
.
Позначення M(x,y).
Теорема:
Нехай M1(x1,
y1)
і M2(x2,
y2)–
дві точки на осі, тоді відстань
між точками M1(x1,
y1)
і M2(x2,
y2)
може бути знайдена за формулою
11.3. Декартові координати в просторі
Три взаємно перпендикулярних осі в просторі (координатні осі) із загальним початком O і однаковою масштабною одиницею утворюють декартову прямокутну систему координат у просторі (рис. 3). Одна з осей називається віссю Ox, або віссю абсцис, інша – віссю Oy, або віссю ординат, третя віссю Oz, або віссю аплікат.
Рис.
1
Рис.
2
Рис.
3
Рис.
4
Рис.
5
Рис.
6
Позначимо через Mx, My і Mz відповідно проекції довільної точки M простору на осі Ox, Oy і Oz.
Декартовими
прямокутними координатами x, y і z точки
M будемо називати
відповідно величини напрямлених
відрізків
,
і
.
Позначення M(x,y,z).
Теорема:
Нехай M1(x1,
y1,
z1)
і M2(x2,
y2,
z2)–
дві точки на осі, тоді відстань
між точками M1(x1,
y1,
z1)
і M2(x2,
y2,
z2)
може бути знайдена по формулі
11.4. Полярні координати на площині
Виберемо на площині деяку точку O (полюс) і промінь який виходить з неї, промінь Ox. Крім того, вкажемо одиницю масштабу (рис. 4).
Полярними координатами точки M називаються два числа і , перше з яких (полярний радіус ) дорівнює відстані від точки M до полюса O, а друге (полярний кут ) – кут, на який потрібно повернути проти годинникової стрілки промінь Ox до сполучення з променем OM.
Позначення M(,).
Для взаємно однозначної відповідності між декартовими і полярними системами на площині, вважають що:
,
Зв'язок між полярними і декартовими координатами визначається співвідношеннями:
11.5. Циліндричні координати в просторі
Виберемо на фіксованій площині деяку точку O і промінь, який виходить з неї Ox. Крім того, розглянемо вісь Oz, що проходить через O перпендикулярно площині .
Нехай M будь-яка точка простору, N – проекція цієї точки на площину , а Mz – проекція M на вісь Oz (рис. 5).
Циліндричними координатами точки M називаються три числа , і z, перші два з яких ( і ) є полярними координатами точки N у площині щодо полюса O і полярної осі Ox, а число z є величина відрізка
Позначення M(,,z).
Якщо відповідні осі циліндричних координат збігаються з осями декартової системи координат у просторі, то зв'язок між координатами точки M у циліндричній і декартовій системах визначаються співвідношеннями:
