1.Основні поняття та визначення. Постановка задачі.

Перш ніж сформулювати задачі про потік на мережі, наведемо деякі означення.

Орієнтованим графом називається впорядкована пара , де – непорожня множина вершин, – множина впорядкованих пар, що називаються дугами. При цьому вершина i дуги називається її початком, а j – її кінцем.

Н еорієнтованим графом називається впорядкована пара , де – множина вершин, а – множина невпорядкованих пар, що називаються ребрами. Ребра зображуються лініями, що з'єднують відповідні вершини.

Геометрично граф зображується точками (множина вершин I) та лініями зі стрілками (множина дуг U), що з'єднують деякі пари цих точок. На рис. 1.1 зображено граф, для якого

, .

Граф g називається скiнченним, якщо скiнченними є множини I та U.

Шляхом на графі g називається послідовність дуг ( ), початок кожної з яких, починаючи з другої, співпадає з кінцем попередньої, тобто , . Зрозуміло, що шлях, який з'єднує вершини та можна задати послідовністю вершин, через які він проходить. На рис. 1.1 послідовність дуг (1,2), (2,4), (4,5) формує шлях, що з'єднує вершини 1 та 5. Цей же шлях можна задати послідовністю вершин (1,2,4,5).

Ланцюгом на графі g називається послідовність ребер ( ), в якій у кожного ребра, починаючи з другого, одна з вершин співпадає з однією з вершин попереднього, а друга – з якою-небудь вершиною наступного ребра. На рис. 1.1 ребра [1,3], [3,4], [4,5] утворюють ланцюг, який можна задати i послідовністю вершин [1,3,4,5].

Якщо початкова вершина шляху (ланцюга) співпадає з кінцевою, то маємо контур (цикл).

Мережею називається граф, елементам якого поставлені у відповідність деякі параметри. Елементами графа вважаються його вершини, дуги, або більш складні конструкції, утворені з вказаних елементарних.

Побудуємо мережу таким чином:

1) кожній вершині поставимо у відповідність число , що називається її інтенсивністю. Вершина i називається джерелом, якщо , стоком, якщо , i нейтральною, якщо ;

2) кожній дузі поставимо у відповідність числа та , що називаються, відповідно, функцією пропускної спроможності та функцією вартості.

На практиці величини часто інтерпретуються як об'єми виробництва ( ) або споживання ( ) деякого однорідного продукту в пункті (вершині) i. Величина визначає пропускну спроможність дуги (комунікації) (i,j), а величина , наприклад, собівартість транспортних перевезень по дузі (i,j).

Потоком (однорідним) в одержаній мережі називається сукупність величин , (i,j)U, що задовольняють умовам:

(1.1)

. (1.2)

Співвідношення (1.1) називаються рівняннями збереження, або рівняннями неперервності. Фізично вони означають, що різниця між величиною потоку, що виходить з вершини i та величиною потоку, що входить до неї, дорівнює її інтенсивності (рис. 1.2).

Нехай . Множина U(V) дуг (i,j) таких, що iV, jV, називається розрізом мережі, тобто U(V) = {(i,j) U: iV, jV}.

Величина

називається пропускною спроможністю розрізу U(V).

Загальні умови існування потоку на мережі встановлюються такою теоремою, яку ми приводимо без доведення.

Теорема 1.1. Для того, щоб на мережі існував потік, необхідно i достатньо, щоб i для довільної множини виконувалась умова , де . Іншими словами, потік на мережі існує тоді i лише тоді, коли сумарна інтенсивність всіх вершин мережі дорівнює нулю, а сумарна інтенсивність будь-якої підмножини вершин не перевищує пропускної спроможності розрізу мережі, що породжується цією підмножиною.

Приклад: Перевірити чи допускає мережа (рис. 1.3) потік.

Р озв’язування. Визначаємо розріз, який формується вершиною (це множина всіх дуг, які виходять з вершини : ): , – умова теореми не виконується, отже мережа не допускає потік.

Кожному потоку поставимо у відповідність цільову функцію

.

Лінійна задача на мережі (або задача про оптимальний потік на мережі) полягає у пошуку допустимого потоку x на мережі, що мiнiмiзує цільову функцію L(x), тобто

(1.3)

Допустимий потік x називається оптимальним, якщо він доставляє мінімальне значення функції L(x).

Очевидно, що задача про оптимальний потік на мережі є частинним випадком ЗЛП i, отже, може бути розв'язана загальними методами лінійного програмування. Зрозуміло, що специфіка цієї задачі може суттєво використовуватися при розробці частинних, більш ефективних методів її розв'язування.