Задача №2. Решение с помощью сетевых графов

1. Условие задачи

1.1 Исходные данные

В аэрокосмической отрасли промышленности выполняется объединение шести предприятий в одну научно-производственную корпорацию. Объединяемым предприятиям присвоены порядковые цифры: 2, 4, 5, 7, 9, 10.

Совместным по всем предприятиям решением были перераспределены производимые изделия. При этом определили. Что предприятие 10 будет заниматься поставкой материалов. А предприятие 7 – сбытом готовой продукции всей объединенной научно-производственной корпорации.

При освоении технологий производства выяснилось, что последовательность передачи работ между предприятиями может быть любая, кроме: 2-10, 7-9, 4-5.

Известно время, необходимое для выполнения работ на каждом предприятии объединенной научно-производственной корпорации (указано в таблице исходных данных).

Определить, при каком технологическом маршруте потребуется максимальное время производства.

2. Условные обозначения

На рис. 2.1 показан исходный граф

i и j – порядковые номера соответствующих событий;

T_рi и T_рj – ранний срок наступления события, т.е. минимальный срок, необходимый для выполнения всех работ, предшествующих данному событию;

T_пi и T_пj – поздний срок наступления события, т.е. максимальный из допустимых моментов времени наступления этого события, при котором остается возможным соблюдение директивного или расчетного срока наступления завершающего события – стока сетевого графа;

R_i и R_j – резерв времени или промежуток времени, на который может быть отсрочено наступление данного события без срыва завершающего события графов;

r_nij – полный резерв времени операции, максимальное количество времени, на которое можно увеличить продолжительность данной операции, не изменяя при этом критического пути;

r_cij – свободный резерв операции, максимальное количество времени, на которое можно увеличить продолжительность рассматриваемой операции, либо отсрочить ее начало, не изменяя при этом ранних сроков наступления последовательных событий и работ, при условии, что начальное событие данной работы наступило в свой ранний срок;

t_ij – продолжительность работ между i и j событиями;

t_роij – ранний срок окончания операции i-j:

t_пнij – поздний срок начала операции i-j.

2. Расчет сетевого графа

1. Метод вычисления непосредственно на самом графе

Основой для данного метода расчета является графоаналитическая форма представления, которая в ходе анализа задачи дополняется полученной количественной информацией (расчетными значениями).

Часто для реализации данного метода расчетов применяют развернутую форму графоаналитического изображения (Рис. 2.2)

Рис. 2.2 Результат расчетов в секторах

1. Принимаем, что ранний срок наступления события 10 графа (истока) равен нулю: T_p10=0. Вычисляем значения ранних сроков окончания операции по формулам:

t_роij=T_pi+t_ij

t_{ро10 5}=T_p10+t_{10 5}=0+14=14

t_{ро10 9}=T_p10+t_{10 9}=0+20=20

t_{ро10 4}=T_p10+t_{10 4}=0+16=16

t_{ро10 7}=T_p10+t_{10 7}=0+6=6

2. Рассчитываем ранние сроки наступления событий по формуле: T_pj=max(t_роij)

Выпишем все равенства для расчетов ранних сроков наступления всех событий

T_p5=max(t_{ро10 5})=14

T_p9=max(t_{ро5 9,} t_{ро10 9})=20

T_p4=max(t_{ро10 4,} t_{ро9 4,} t_{ро2 4})=60

T_p2=max(t_{ро5 2,} t_{ро9 2})=44

T_p7=max(t_{ро10 7,} t_{ро5 7,} t_{ро2 7,} t_{ро4 7})=72

Нам стало известно T_p5, тогда

T_p5=14

t_{ро5 7}=T_p5+t_{5 7}=14+12=26

t_{ро5 9}=T_p5+t_{5 9}=14+5=19

t_{ро5 2}=T_p5+t_{5 2}=14+11=25

Теперь стало возможным вычислить T_p9, получим

T_p9=20

t_{ро9 4}=T_p9+t_{9 4}=20+9=29

t_{ро9 2}=T_p9+t_{9 2}=20+24=44

После расчета t_{ро9 4} и t_{po9 2}, можем найти T_p2, получим

T_p2=44

t_{ро2 4}=T_p2+t_{2 4}=44+16=60

t_{ро2 7}=T_p2+t_{2 7}=44+17=61

Можем найти T_p4, получим

T_p4=60

t_{ро4 7}=T_p4+t_{4 7}=60+12=72

Остается найти T_p7, оно будет равно 72.

Заносим полученные данные в таблицу(Рис. 2.3 а,б):

i	j	tij	tpoij
2	4	16	60
2	7	17	61
4	7	12	72
5	2	11	25
5	7	12	26
5	9	5	19
9	4	9	29
9	2	24	44
10	4	16	16
10	5	14	14
10	7	6	6
10	9	20	20

а)

№	Tpj
2	44
4	60
5	14
7	72
9	20
10	0

б)

Рис. 2.3 (а,б) Занесение результатов t_poij и T_pj

3. Для конечного события графа-стока принимаем

T_п7=T_p7=72

Рассчитываем поздние сроки начала операций по формуле:

t_пнij=T_пj-t_ij

t_{пн10 7}=T_p7+t_{10 7}=72-6=66

t_{пн5 7}=T_p7+t_{5 7}=72-12=60

t_{пн2 7}=T_p7+t_{2 7}=72-17=55

t_{пн4 7}=T_p7+t_{4 7}=72-12=60

Рассчитываем поздние сроки наступления событий по формуле: T_пj=min(t_пнij)

Выпишем все равенства для расчетов ранних сроков наступления всех событий

T_п10=min(t_{пн10 5}, t_{пн10 9}, t_{пн10 7}, t_{пн10 4})=0

T_п2=min(t_{пн2 4}, t_{пн2 7})=44

T_п4=min(t_{пн4 7})=60

T_п5=min(t_{пн5 2}, t_{пн5 7}, t_{пн5 9})=15

T_п9=min(t_{пн9 2}, t_{пн9 4})=20

Нам стало известно T_п4, тогда

T_п4=60

t_{пн10 4}=T_п4+t_{10 4}=60-16=44

t_{пн9 4}=T_п4+t_{9 4}=60-9=51

t_{пн2 4}=T_п4+t_{2 4}=60-16=44

Теперь стало возможным вычислить T_п2, получим

T_п2=44

t_{пн5 2}=T_п2+t_{5 2}=44-11=33

t_{пн9 2}=T_п2+t_{9 2}=44-24=20

После расчета t_пн524 и t_{пн9 2}, можем найти T_п9, получим

T_п9=20

t_{пн5 9}=T_п9+t_{5 9}=20-5=15

t_{пн10 9}=T_п9+t_{10 9}=20-20=0

Можем найти T_п5, получим

T_п5=15

t_{пн10 5}=T_п5+t_{10 5}=15-14=1

Остается найти T_п10, оно будет равно 0.

Занесем полученные данные в таблицы (Рис 2.4 а,б):

№	Tpj	Тпj
2	44	44
4	60	60
5	14	15
7	72	72
9	20	20
10	0	0

а)

i	j	tij	tpoij	tпнij
2	4	16	60	44
2	7	17	61	55
4	7	12	72	60
5	2	11	25	33
5	7	12	26	60
5	9	5	19	15
9	4	9	29	51
9	2	24	44	20
10	4	16	16	41
10	5	14	14	1
10	7	6	6	66
10	9	20	20	0

Рис. 2.4(а,б) Занесение результатов расчета t_пнij и Т_пj в таблицы

4. Рассчитываем разницы между ранним и поздним сроками наступления событий по формуле: R_j= Т_пj- Т_рj

R₂= Т_п2 - Т_р2=44-44=0

R₄= Т_п4 - Т_р4=60-60=0

R₅= Т_п5 - Т_р5=15-14=1

R₇= Т_п7 - Т_р7=72-72=0

R₉= Т_п9 - Т_р9=20-20=0

R₁₀= Т_п10 - Т_р10=0-0=0

5. Рассчитываем полный резерв времени, не приводящий к смещению событий по формуле: r_пij=Т_пj – t_роij

r_{п10 5}=Т_п5 – t_{ро10 5} =14-14=0

r_{п10 9}=Т_п9 – t_{ро10 9} =20-20=0

r_{п10 4}=Т_п4 – t_{ро10 4} =60-16=44

r_{п10 7}=Т_п7 – t_{ро10 7} =72-6=66

r_{п5 7}=Т_п7 – t_{ро5 7} =72-26=46

r_{п5 9}=Т_п9 – t_{ро5 9} =20-19=1

r_{п5 2}=Т_п2 – t_{ро5 2} =44-25=19

r_{п9 2}=Т_п2 – t_{ро9 2} =44-44=0

r_{п9 4}=Т_п4 – t_{ро9 4} =60-29=31

r_{п4 7}=Т_п7 – t_{ро4 7} =72-72=0

r_{п2 7}=Т_п7 – t_{ро2 7} =72-61=11

r_{п2 4}=Т_п4 – t_{ро2 4} =60-60=0

6. Рассчитываем свободный резерв времени по формуле: r_сij=Т_рj – t_роij

r_{с10 5}=Т_р5 – t_{ро10 5} =14-14=0

r_{с10 9}=Т_р9 – t_{ро10 9} =20-20=0

r_{с10 4}=Т_р4 – t_{ро10 4} =60-16=44

r_{с10 7}=Т_р7 – t_{ро10 7} =72-6=66

r_{с9 2}=Т_р2 – t_{ро9 2} =44-44=0

r_{с9 4}=Т_р4 – t_{ро9 4} =60-29=31

r_{с4 7}=Т_р7 – t_{ро4 7} =72-72=0

r_{с5 7}=Т_р7 – t_{ро5 7} =72-26=46

r_{с5 9}=Т_р9 – t_{ро5 9} =20-19=1

r_{с5 2}=Т_р2 – t_{ро5 2} =44-25=19

r_{с2 7}=Т_р7 – t_{ро2 7} =72-61=11

r_{с2 4}=Т_р4 – t_{ро2 4} =60-60=0

Представим все полученные данные на сетевом графе (Рис. 2.5).

Рис. 2.5 Результат расчетов на сетевом графе

Все полученные данные заносим в таблицу 3.1 и 3.2:

№	Tpj	Тпj	R
2	44	44	0
4	60	60	0
5	14	15	1
7	72	72	0
9	20	20	0
10	0	0	0

Табл. 3.1 Расчеты по всем работам на графе

i	j	tij	tpoij	tпнij	rcij	rпij
2	4	16	60	44	0	0
2	7	17	61	55	11	11
4	7	12	72	60	0	0
5	2	11	25	33	19	19
5	7	12	26	60	46	46
5	9	5	19	15	1	1
9	4	9	29	51	31	31
9	2	24	44	20	0	0
10	4	16	16	41	44	44
10	5	14	14	1	0	0
10	7	6	6	66	66	66
10	9	20	20	0	0	0

Табл. 3.2 Расчеты по событиям на графе