2.Построение опорного плана

Решение транспортной задачи начинается с нахождения опорного плана. Для построения опорного плана существует несколько методов. Воспользуемся методом аппроксимации Фогеля.

При определении опорного плана транспортной задачи методом аппроксимации Фогеля находят разность по всем столбцам и по всем строкам между минимальным значение и ближайшем к нему (табл. 2). Эти разности записывают в специально отведенных для этого строке и столбце таблицы условий задачи.

Среди указанных разностей выбирают максимальную. В строке (или в столбце), которой данная разность соответствует, определяют минимальную стоимость. Если минимальная стоимость одинакова для нескольких клеток столбца (строки), то для заполнения выбирают ту клетку, которая расположена в столбце (строке), соответствующем наибольшей разности между двумя минимальными стоимостями, находящимися в данном столбце(строке).

B A	B1	B2	B3	B4	a	Таблица 2
A1	340	320 *314	310 *4356	325	4670	10	10	5	5
A2	306 *4284	328 *246	330	316	4530	10	10	10	12
A3	284	279 *4450	318	328	4450	5
A4	312	335 *477	339	320 *3873	4350	8	8	8	15
b	4284	5487	4356	3873		Шаг 1	Шаг 2	Шаг 3	Шаг 4	Шаг 5
	22	41	8	4
	6	8	20	4
	6	8		4
		8		4
		8

Значение целевой функции:

У₀=∑cx=320*314+310*4356+306*4284+328*246+279*4450+335*477+ +320*3873=100480+1350360+1310904+80688+1214550+159795+1239360 = 5483137

3.Улучшение опорного плана методом потенциалов

Общий алгоритм метода потенциалов:

1. Берем опорный план и присваиваем значения u_i и v_j .

2. Определяем для этого плана потенциалы (u_i и v_j), исходя из условия, u_i+v_j=с_y, для тех ячеек опорного плана, в которых имеется распределенный груз x_у.

Предполагается v₂=0 и находят все остальные неизвестные u₁,…u_m, v₁… v_n.

Решение системы уравнений и определение значений потенциалов:

u₁+v₂=с₁₂=320 u₁=320

u₁+v₃=с₁₃=310 v₃=-10

u₂+v₁=с₂₁=306 v₁=-22

u₂+v₂=с₂₂=328 u₂=328

u₃+v₂=с₃₂=279 u₃=279

u₄+v₂=с₄₂=335 u₄=335

u₄+v₄=с₄₄=320 v₄=-15

Составим системы неравенств для расчета значений z_ij для клеток в которых не расположены ресурсы:

Z_ij=u_i+v_j

z₁₁=u₁+v₁=320-22=298

z₁₄=u₁+v₄=320-15=305

z₂₃=u₂+v₃=328-10=318

z₂₄=u₂+v₄=328-15=313

z₃₁=u₃+v₁=279-22=257

z₃₃=u₃+v₃=279-10=269

z₃₄=u₃+v₄=279-15=264

z₄₁=u₄+v₁=335-22=313

z₄₃=u₄+v₃=335-10=325

Вычислим разнось ∆_ij для тех клеток, куда не распределены ресурсы:

∆_ij=с_ij-z_ij≥0

∆₁₁=C₁₁-Z₁₁=340-298=42

∆₁₄=C₁₄-Z₁₄=325-305=20

∆₂₃=C₂₃-Z₂₃=330-318=12

∆₂₄=C₂₄-Z₂₄=316-313=3

∆₃₁=C₃₁-Z₃₁=284-257=27

∆₃₃=C₃₃-Z₃₃=318-269=49

∆₃₄=C₃₄-Z₃₄=328-264=64

∆₄₁=C₄₁-Z₄₁=312-313=-1<0

∆₄₃=C₄₃-Z₄₃=329-325=4

В нашем случае было нарушено одно из неравенств, необходимо произвести перераспределение ресурсов, т.е. перекомпоновку опорного плана. Для этого подбирается фрагмент опорного плана, состоящий из 4 ячеек, в этот фрагмент обязана входить дефицитная клетка (то есть та по которой нарушено неравенство), а те клетки, которые попадают в данный фрагмент в строку или столбец с дефицитной клеткой, должны иметь распределенный в них ресурс. Диагональная клетка по отношению к дефицитной клетке получается автоматически.

Таким образом, после решения уравнений, появилась 1 дефицитная клетка. Опорный план требует улучшений. Выполним перекомпоновку опорного плана с учетом пересчета дефицитной клетки. Найдем оптимальный вариант клетки (4.1):

Вариант 1

306 *4284(3807)	328 *246(723)
312 *477	335 *477(0)

Эффект от перекомпоновки единицы ресурса будет:

312-335+328-306=6-7= -1

Удовлетворяет условию У→min. Реализуем перекомпоновку фрагмента (4.1). Улучшенный план после перекомпоновки отобразим на Рис. 1.2.

Вариант 2

306 *4284	316
312	320 *3873

Эффект от перекомпоновки единицы ресурса будет:

312-320+316-306=6-4=2

Данный вариант не подходит, так как не способствует минимизации стоимости транспортировки единицы ресурса.

B A	B1 V1	B2 V2	B3 V3	B4 V4
A1 U1	340	320 *314	310 *4356	325
A2 U2	306 *3807	328 *723	330	316
A3 U3	284	279 *4450	318	328
A4 U4	312 *477	335	339	320 *3873

Рис. 1.2 Улучшенный план после перекомпоновки.

Таким образом получен новый план с суммарной стоимостью:

У₁=∑cx=320*314+310*4356+306*3807+328*723+279*4450+312*477+ +320*3873=100480+1350360+1164942+237144+1241556+148824+1239360= 5482666

Процент улучшения:

∆=(У₀-У₁)*100%/У₀=(5483137-5482666)*100%/5483137=0,0085≈0,0085%

Необходимо проверить новый план на оптимальность и на наличие дефицитных ячеек. Применим метод потенциалов. Составляем систему уравнений для клеток, в которых распределены грузы.

u₁+v₂=с₁₂=320 u₁=320

u₁+v₃=с₁₃=310 v₃=-10

u₂+v₁=с₂₁=306 v₁=-22

u₂+v₂=с₂₂=328 u₂=328

u₃+v₂=с₃₂=279 u₃=279

u₄+v₁=с₄₁=312 u₄=334

u₄+v₄=с₄₄=320 v₄=-14

Составим системы неравенств для расчета значений z_ij для клеток в которых не расположены ресурсы:

Z_ij=u_i+v_j

z₁₁=u₁+v₁=320-22=298

z₁₄=u₁+v₄=320-14=306

z₂₃=u₂+v₃=328-10=318

z₂₄=u₂+v₄=328-14=314

z₃₁=u₃+v₁=279-22=257

z₃₃=u₃+v₃=279-10=269

z₃₄=u₃+v₄=279-14=265

z₄₂=u₄+v₂=334-0=334

z₄₃=u₄+v₃=334-10=324

Вычислим разнось ∆_ij для тех клеток, куда не распределены ресурсы:

∆_ij=с_ij-z_ij≥0

∆₁₁=C₁₁-Z₁₁=340-298=42

∆₁₄=C₁₄-Z₁₄=325-306=19

∆₂₃=C₂₃-Z₂₃=330-318=12

∆₂₄=C₂₄-Z₂₄=316-314=2

∆₃₁=C₃₁-Z₃₁=284-257=27

∆₃₃=C₃₃-Z₃₃=318-269=49

∆₃₄=C₃₄-Z₃₄=328-265=63

∆₄₂=C₄₂-Z₄₂=335-334=1

∆₄₃=C₄₃-Z₄₃=339-324=15

Дефицитных ячеек не имеем. Следовательно новый улучшенный план оставляем без изменений.