Задача 11

Определить однодневный VaR с доверительной вероятностью 95% для портфеля стоимостью 10 млн у.е., в который входят акции только одной компании. Стандартное отклонение доходности акции в расчете на год равно 25%. В году 252 торговых дня.

РЕШЕНИЕ

Стандартное отклонение доходности акции для одного дня, учитывая что в году 252 торговых дня равно:

Ϭ= 25: √252 = 1,575

Доверительной вероятности в 95% соответствует 1,65 стандартных отклонений. Согласно формуле VaR портфеля равен:

VaR = 10 млн – 0,0575*1,65= 259,875 тыс. у.е.

Задача 12

Пусть имеются два инвестиционных проекта. Первый с вероятностью 0,6 обеспечивает прибыль 15 млн. руб., однако с вероятностью 0,4 можно потерять 3 млн. руб. Для второго проекта с вероятностью 0,8 можно получить прибыль 9 млн. млн. руб. и с вероятностью 0,2 потерять 2 млн. руб. Какой проект выбрать в соответствии с оценкой риска?

Решение:

В соответствии с формулой 1 математическое ожидание прибыли от вложения по каждому проекту:

Мх₁ = 15 млн. руб. * 0,6 + (-3) млн. руб. * 0,4 = 7,8 млн. руб.;

Мх₂ = 9 млн. руб. * 0,8 + (-2) млн. руб. * 0,2 = 6,8 млн. руб.

Далее определяем дисперсию для каждого варианта согласно формуле 3:

Dx₁ = (15,0 – 7,8)² * 0,6 + (-3,0 – 7,8) ² * 0,4 = 77,76 млн. руб.;

Dx₂ = (9,0 – 6,8)² * 0,8 + (-2,0 – 6,8) ² * 0,2 = 19,36 млн. руб.

По формуле 4 вычислим среднеквадратическое отклонение:

₁ = (77,76)^1/2 = 8,82 млн. руб.;

₂ = (19,36)^1/2 = 4,4 млн. руб.

Имеем ситуацию, когда первый вариант предполагает большую ожидаемую прибыль (7,8 млн. руб.) и одновременно больший уровень риска (среднеквадратическое отклонение – 8,82 млн. руб.). Следовательно, по формуле 5 рассчитаем коэффициент вариации:

CV₁ = 8,82 / 7,8 = 1,13;

CV₂ = 4,4 / 6,8 = 0,65.

Итак, первый проект более рискованный.

Ответ: инвестор должен осуществлять второй проект, так как по нему меньше риск на единицу прибыли.

Задача 13

Компания "Российский сыр" - небольшой производитель различных продуктов из сыра на экспорт. Один из продуктов - сырная паста - поставляется в страны ближнего зарубежья. Генеральный директор должен решить, сколько ящиков сырной пасты следует производить в течение месяца. Вероятности того, что спрос на сырную пасту в течение месяца будет 3, 8, 17, 4 ящика, равны соответственно 0,1; 0,3; 0,4; 0,2. Затраты на производство одного ящика равны 32 дол. Компания продает каждый ящик по цене 62 дол. Если ящик с сырной пастой не продается в течение месяца, то она портится, и компания не получает дохода. Сколько ящиков следует производить в течение месяца?

Решение:

Критерий эффективности – прибыль, которая рассчитывается как разность между выручкой от реализации проданного продукта (цена * кол-во (спрос, если он меньше объема производства, и объем производства, если последний меньше спроса)) и затратами на производство (затраты на единицу * полный объем выпуска по варианту принятия решения).

На основании условия строим матрицу игры:

Объем	Спрос (с вероятностью)
пр-ва	3	8	17	4
	0,1	0,3	0,4	0,2
3	90,0	90,0	90,0	90,0
8	- 70,0	240,0	240,0	- 8,0
17	- 358,0	- 48,0	510,0	- 296,0
4	58,0	120,0	120,0	120,0

В соответствии с формулой 1 математическое ожидание прибыли по каждому варианту принятия решения:

Мх₃ = 90 * (0,1 + 0,3 + 0,4 + 0,2) = 90,0 дол.;

Мх₈ = (-70) * 0,1 + 240 * (0,3 + 0,4) - 8 * 0,2 = 159,4 дол.;

Мх₁₇ = (-358) * 0,1 - 48 * 0,3 + 510 * 0,4 - 296 * 0,2 = 94,6 дол.;

Мх₄ = 58 * 0,1 + 120 * (0,3 + 0,4 + 0,2) = 113,8 дол.

Определяем дисперсию для каждого варианта согласно формуле 3:

Dx₃ = (90,0 – 90,0)² * (0,1 + 0,3 + 0,4 + 0,2) = 0 дол.;

Dx₈ = (-70,0 – 159,4)² * 0,1 + (240,0 – 159,4) ² * (0,3 + 0,4) + (-8 – 159,4)² * 0,2= = 5262,436 + 4547,452 + 5 604,552 = 15414,44 дол.;

Dx₁₇ = (-358,0 – 94,6)² * 0,1 + (-48,0 – 94,6) ² * 0,3 + (510,0 – 94,6) ² * 0,4 + (-296,0 – 94,6)² * 0,2 = 20484,676 + 6100,428 + 69022,864 + 30513,672 = = 126121,64 дол.;

Dx₄ = (58,0 – 113,8)² * 0,1 + (120,0 – 113,8) ² * (0,3 + 0,4 + 0,2) = 311,364 + + 34,596 = 345,96 дол.

По формуле 4 вычислим среднеквадратическое отклонение:

₃ = (0)^1/2 = 0 дол.;

₈ = (15414,44)^1/2 = 124,15 дол.;

₁₇ = (126121,64)^1/2 = 355,14 дол.;

₄ = (345,94)^1/2 = 18,60 дол.

Имеем ситуацию, когда вариант производства 8 ящиков приносит наибольшую ожидаемую прибыль (159,4 млн. руб.), но при этом имеет едва ли не самый большой уровень риска (среднеквадратическое отклонение – 124,15 млн. руб.). Следовательно, по формуле 5 рассчитаем коэффициент вариации:

CV₃ = 0 / 90,0 = 0;

CV₈ = 124,15 / 159,4 = 0,78;

CV₁₇ = 355,14 / 94,6 = 3,75;

CV₄ = 18,6 / 113,8 = 0,16.

Выводы: из результатов расчетов видно, что альтернатива производства 17 коробок сырной пасты не приносит максимальной прибыли и вдобавок имеет максимальный уровень риска на единицу прибыли (3,75). Отсюда заключаем, что этот вариант нецелесообразен. Вариант выпуска трех ящиков является безрисковым (среднеквадратическое отклонение и коэффициент вариации – 0), однако приносит не самую большую ожидаемую прибыль (90 дол.). Ожидаемая прибыль по варианту производства 8 упаковок пасты – 159,4 дол., в то время как выпуск 4 упаковок принесет 113,8 дол. дохода. При этом уровень риска при производстве 8 ящиков в 124,15 / 18,6 = 6,67 раза выше, чем в случае выпуска 4-х коробок продукта. Окончательное решение принимаем, учитывая уровень риска на единицу прибыли. Расчет коэффициентов вариации ясно сигнализирует о том, что в случае производства 8 коробок будем иметь уровень риска на единицу прибыли в 0,78 / 0,16 = 4,88 раза выше, чем в варианте 4 ящиков.

Ответ: генеральному директору следует принять решение о производстве четырех ящиков сырной пасты в месяц.