Линейно-аддитивная прогностическая модель

При этой модели тренда предполагается, что среднее прогнозируемого показателя d_t, изменяется по линейной формуле от времени:

d_t = μ+ λt+ є_t, (1.1)

где μ – среднее значение показателя, λ- скорость его роста, є_t - случайная ошибка с нулевым средним.

Метод Холта, описанный в работе [13], основывается на оценке параметра-степени линейного роста (или падения) показателя во времени. Скорость роста λ оценивается по показателю роста b_t, который вычисляется как экспоненциально взвешенное среднее разностей между текущими экспоненциально взвешенными средними значениями процесса u_t и их предыдущими значениями u_t-1. Характерная особенность этого метода: вычисление текущего значения экспоненциально взвешенного среднего u_t включает в себя вычисление предыдущего значения b_t-1, адаптируясь, таким образом, к предыдущему значению линейного тренда:

u _t = Ad_t + (1 – A) u_t-1 + b_t-1; (1.2)

b_t = B(u_t – u_t-1 ) + (1 – B) b_t-1 ,

где параметры A и B изменяются в пределах от нуля до единицы.

Будем считать, что прогноз вычисляется на τ моментов времени вперед (период упреждения), т.е. до момента t + τ (горизонт прогнозирования).

После оценки в модели Холта показателя роста (или падения) b_t прогноз на τ моментов времени, т.е. f_t+τ, вычисляется суммированием оценки среднего текущего значения u_t и ожидаемого показателя роста b_t, умноженного на число моментов времени прогнозирования τ, т.е.

f_t+τ = u_t + b_t τ.

Значения A и B рекомендуется брать равными 0,1 и 0,01 соответственно. Один из недостатков этого метода – необходимость задания двух параметров (значения A и B могут задаваться произвольно).

Однако в условиях устойчивости можно фактическую разность приравнять к ее оценке, поэтому

,

где b_t = α. Отсюда

.

Итак, прогноз

f_t+τ = f_t + b_t τ

или

f_t+τ = τ.

Для прогноза на один момент времени (τ=1) предыдущая формула упрощается:

f_t+τ = .

Метод адаптивного сглаживания Брауна [33] предполагает, что есть ряд значений анализируемого показателя можно описать некоторой моделью, то логичнее всего применять регрессивный анализ (когда минимизируется сумма квадратов) на основе взвешенной регрессии, то есть большее внимание необходимо уделить свежей информации. Если в момент времени t прогноз экономических показателей на момент времени t + τ описывается уравнением

d_t+τ = a₀+a₁τ +a₂τ² + є(t),

где є(t) – случайное отклонение с нулевым средним, то, задавая некоторое γ (соответствующее уровню ежемесячного дисконтирования наблюдений) на момент времени t, выберем a₀, a₁, a₂ так, чтобы

.

Метод Холта с модификациями Муира [13]. Муир доказал, что значение показателя роста b_t совпадает с оценкой коэффициента линейного тренда по методу наименьших квадратов; другими словами, b_t минимизирует сумму квадратов отклонений фактических значений от тренда. Если прогноз осуществляется на большой промежуток времени, то

u_t = Ad_t + (1 – A) u_t-1.

Если b_t вычисляется на основе уравнения (1.2), то несмещенной оценкой ожидаемого значения показателя с периодом упреждения τ будет

f_t+τ = u_t + b_t .

Метод двойного сглаживания Брауна [33]. В условиях линейного тренда простое экспоненциальное взвешенное среднее (u_t = αd_t + (1 – α)u_t-1) всегда меньше линейного тренда на величину лага / :

/ = ,

где λ – коэффициент наклона в процессе, изменяется в пределах 0,05…0,3.

Двойное экспоненциальное взвешенное среднее, задаваемое уравнением

= α u_t + (1 – α) ,

также меньше первоначального скользящего среднего u_t на ту же величину, на которую u_t меньше d_t. Таким образом, за оценку текущего значения d_t можно взять

f_t = .

Другими словами, константы a₀, a₁, a₂ на момент времени t выбирают так, чтобы взвешенная сумма квадратов отклонений между наблюдаемыми и ожидаемыми значениями обращалась в минимум.

Для модели линейно-аддитивного тренда оценка по взвешенному методу наименьших квадратов равна:

f_t+τ = f_t + b_t τ; u_t = u_t-1+ b_t-1 + (1 – γ²) /_t;

/_t = d_t – f_t; b_t = b_t-1 + (1 – γ²) /_t.

Рассмотренный метод взвешенной регрессии имеет ряд достоинств:

1. Идея метода логична и понятна (минимизируется взвешенная сумма квадратов ошибок прогноза).

2. Метод однопараметричен: параметр γ задает коэффициент дисконтирования, аналогичный параметру 1 – α других методов.

3. Коэффициенты прогностической модели оцениваются совместно, что уменьшает автокорреляцию.

4. В рамках прогностической модели этот метод требует самых простых вычислений. Рекомендуется брать γ = 0,8.

Метод Бокса-Дженкинса [13]. Модель прогнозирования Бокса-Дженкинса имеет вид:

u_t = u_t-1 + γ –1(/_t – /_t-1 ) + γ₀/_t + /_i.

На основе z–преобразования Вард показал в работе [33], что и метод Холта, и метод двойного экспоненциального сглаживания Брауна, и метод Бокса-Дженкинса представляют собой частные случаи более общей модели, причем все они совпадают, если значения параметров A, B, γ₀, γ₁ связаны с параметром следующими соотношениями:

A = γ₀ = α(2 – α); B = α/(2 – α); γ₁ = α².