ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ 3. ВРЕМЕННОЕ И ЧАСТОТНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ

3. Временное и частотное представление сигналов

3.1. Временное представление сигналов

3.1.1. Разложение сигналов по единичным импульсам

Прямая координатная форма представления сигналов соответствует их естественной и привычной для нас форме математического описания в виде функций независимых переменных (аргументов или координат).

Единичные импульсы. Простейшим сигналом является единичный импульс. В качестве математической модели единичного импульса при анализе аналоговых сигналов используют дельта-функцию.

Дельта-функция. По определению, дельта-функция описывается двумя следующими математическими выражениями:

при и

Функция равна нулю везде за исключением точки τ, в которой она бесконечно велика и не является дифференцируемой.

Дельта-функция является полезной математической абстракцией. На практике такие функции не могут быть реализованы с абсолютной точностью, так как невозможно реализовать значение, равное бесконечности, в точке t = τ на временной шкале.

При всей своей абстрактности дельта-функция имеет вполне определенный физический смысл. Представим себе импульсный сигнал прямоугольной формы П(t-) длительностью , амплитуда которого равна , а площадь соответственно равна 1. При уменьшении значения  импульс, сокращаясь по длительности, сохраняет свою площадь, равную 1, и возрастает по амплитуде. Предел такой операции при  → 0 и носит название дельта-импульса. Этот сигнал сосредоточен в одной координатной точке t = τ, конкретное амплитудное значение его не определено, но площадь (интеграл) остается равной 1. Это не мгновенное значение функции в точке t = τ, а именно импульс – математическая модель короткого действия, значение которого равно 1.

Функция Кронекера. Для дискретных и цифровых систем разрешающая способность по аргументу сигнала определяется интервалом его дискретизации Δt. Это позволяет в качестве единичного импульса использовать дискретный интегральный аналог дельта-функции - функцию единичного отсчета , которая равна 1 в координатной точке k = n и нулю во всех остальных точках. При этом функция δ(kΔt - nΔt), может быть определена для любых значений Δt = const, но только для целых значений координат k и n.

Математические выражения и δ(kΔt - nΔt), называют также импульсами Дирака и Кронекера. Однако применяя такую терминологию, не будем забывать, что это не просто единичные импульсы в координатных точках τ и nΔt, а импульсные функции, определяющие как значения импульсов в определенных координатных точках, так и нулевые значения по всем остальным координатам, в пределе от - до .

Разложение сигнала. Импульсы Дирака и Кронекера используются для разложения, соответственно, произвольных аналоговых сигналов s(t) и дискретных сигналов s(kΔt) в непрерывную последовательность неперекрывающихся импульсов:

Для аналоговых сигналов разложение в физическом представлении эквивалентно сканированию значений сигнала s(t) в моменты времени t = τ бесконечно узкой щелью, бегущей вдоль оси t. Для цифровых сигналов эта щель равна одному отсчету.

С математических позиций единичные импульсные функции , - < τ <  и , - < n <  представляют собой совокупности взаимно ортогональных сигналов, образующих в бесконечномерных пространствах системы координатных базисов { }, - < τ <  и { }, - < n < . Ортогональность импульсов обеспечивается тем, что они являются неперекрывающимися. По этим координатным базисам и производится разложение сигналов s(t) и s(kΔt), то есть их представление в виде совокупностей соответствующих проекций - отсчетов и по координатам { } и { }.

Импульсный отклик линейной системы. С понятием сигнал неразрывно связано понятие «система», взаимодействующая и сигналом. Системы передачи и хранения информации являются примером таких систем. Если на вход линейной системы в момент времени t = 0 подать единичный импульс, то на выходе мы получим реакцию системы на единичный входной сигнал. Эта реакция называется функцией импульсного отклика системы и однозначно определяется оператором преобразования h( ):

y(t) = T[δ(t - 0)] = h(t).

y(kΔt) = T[δ(kΔt - 0)] = h(kΔt).

Импульсный отклик аналоговой системы на входную дельта-функцию также в определенной степени представляет собой математическую абстракцию идеального преобразования. С практической точки зрения под импульсным откликом можно понимать отображение реакции системы на импульсный входной сигнал произвольной формы с единичной площадью, если длительность этого сигнала пренебрежимо мала по сравнению с временной (координатной) разрешающей способностью системы (например, с периодом ее собственных колебаний). Для цифровых систем импульсный отклик однозначно определяется реакцией системы на импульс Кронекера. Функцию импульсного отклика называют также весовой функцией системы.

В линейных инвариантных к сдвигу системах форма импульсного отклика не зависит от времени прихода входного сигнала и определяет только его положение на временной оси. Так, если входной импульс задержан (относительно 0) на время t₀, то соответствующий выходной сигнал будет определяться выражением:

y(t) = T[δ(t - t₀)] = h(t - t₀).

В любой системе, работающей в реальном масштабе времени, сигнала на выходе системы не может быть, если нет сигнала на ее входе. Отсюда следует односторонность импульсного отклика физических систем: h(t - τ) = 0 при t < τ.

Для программных систем, работающих с массивами цифровых данных, импульсный отклик может быть и двусторонним, так как при обработке сигналов в любой текущей точке kΔt системе доступны как «прошлые» отсчеты , так и «будущие» отсчеты . Соответственно, сигнал на выходе системы может формироваться и по «будущим» отсчетам. Это расширяет возможности программной обработки сигналов по сравнению с физическими системами.

На Рис. 3.1.1 приведен пример импульсного отклика h(t) элементарной физической системы преобразования электрических сигналов – динамической интегрирующей RC-цепи на входной сигнал s(t).

При подаче на вход RC-цепи единичного и очень короткого (Δt << RC) импульса заряда Δq емкость С заряжается до напряжения V₀ = и начинает разряжаться через сопротивление R, при этом напряжение на емкости изменяется по закону . Отсюда, импульсный отклик RC-цепи на единичный входной сигнал с единичным значением заряда Δq = 1 равен: , где множитель является масштабным преобразователем сигнала (заряда в напряжение), а форма отклика определяется функцией экспоненты. По существу, импульсным откликом системы определяется доля входного сигнала, которая действует на выходе системы по истечении времени t после поступления сигнала на вход (запаздывающая реакция системы).

Рис. 3.1.1. Импульсный отклик h(t) динамической интегрирующей RC-цепи

Если функция импульсного отклика системы известна, то, с учетом принципа суперпозиции сигналов в линейной системе, можно рассчитать реакцию системы в произвольный момент времени на любое количество входных сигналов с любыми моментами времени их прихода путем сложения запаздывающих реакций системы на эти входные сигналы.