Нормы расхода продуктов на производство хлеба и батона, цены на хлеб и батон, запасы исходных продуктов

Исходные продукты	Хлеб	Батон	Запасы
Мука	0,6	0,5	120
Жиры	0,05	0,08	70
Сахар	0,2	0,6	65
Финансы	0,2	0,24	50
Цена	0,99	1,21

Б). Экономико-математическая модель решения задачи

Целевая функция:

(2.1)

Ограничения:

(2.2)

(2.3)

. (2.4)

где - цена на рынке на ед. продукции j-го вида;

- норма расхода i-го исходного продукта на ед. продукции j-го вида;

- количество ед. запасов i-го исходного продукта;

- количество ед. выпускаемой продукции j-го вида;

- количество ед. выпуска хлеба;

- количество ед. выпуска батона;

- количество видов выпускаемой продукции.

Применительно к конкретным исходным данным задачи ее математическая постановка будет выглядеть следующим образом:

0,99х₁ + 1,21х₂ = max,

0,6х₁ + 0,5х₂ = 120,

0,05х₁ + 0,08х₂ = 70,

0,2х₁ + 0,6х₂ = 65,

0,2х₁ + 0,24х₂ = 50,

,

.

В экономико-математической модели планирования производства целевая функция (1) соответствует получению максимального дохода от реализации хлеба и батона. Ограничение (2) предусматривает изготовление продукции в пределах имеющихся для этого запасов исходных продуктов. Ограничение (3) обуславливает производство продукции в соответствии со спросом на рынке. Ограничение (4) вводится для исключения отрицательных значений количества производимой продукции.

В). Решение задачи по планированию производства

Подготовительный этап

1). Создаем исходную таблицу и вносим в нее имеющиеся исходные данные (рис. 2.1).

Рис. 2.1 Исходные данные для решения задачи

2). Заполняем исходную таблицу формулами, связывающими план, ограничения и целевую функцию (значение дохода).

Вначале заполняем формулами столбец ограничений «использовано», для чего (рис. 2.2):

устанавливаем курсор в ячейку на пересечении исходного продукта «мука» и столбца «использовано» (ячейка Е17) и активируем ее щелкнув левой кнопкой мыши (рис. 2.2);

Рис. 2.2 Заполнение формулами исходной таблицы

• вызываем мастер функций, щелкнув по пиктограмме fx и в категории «математические» выбираем функцию СУММПРОИЗВ, нажимаем ОК;

• в появившемся окне (рис. 2.3) в строку массив 1 вводим нормы расхода муки на изготовление ед. производства хлеба и батона, выделив в строке «мука» ячейки В17:С17. Для этого необходимо установить курсор в ячейку В17, щелкнуть левой кнопкой мыши и удерживая ее в нажатом положении протащить курсор до ячейки С17 включительно;

• устанавливаем курсор в строку массив 2 и вводим в нее адреса ячеек, в которых будут помещены данные по плану производства. Для этого устанавливаем курсор в ячейку на пересечении строки «план» и столбца «хлеб» (В22), щелкаем левой кнопкой мыши и удерживая ее в нажатом положении протаскиваем курсор до ячейки С22 включительно. После этого нажимаем ОК;

• заполняем формулами оставшиеся ячейки в столбце «использовано» для каждого исходного продукта. С этой целью фиксируем «замораживаем» абсолютные координаты плана (массив 2) формулы в первой ячейке столбца «использовано», поставив знак $ перед буквенным и цифровым

Рис. 2.3 Заполнение формулами столбца ограничений «использовано»

• обозначением адреса ячеек (рис. 2.4), нажимаем ОК и копируем формулу с «замороженными» координатами (адресами ячеек) плана производства в оставшиеся ячейки в столбце использовано. Для копирования необходимо активировать ячейку на пересечении строки «мука» и столбца «использовано», щелкнув по ячейке левой кнопкой мыши, и удерживая ее в нажатом положении, протащить курсор по столбцу использовано до последней ячейки (Е20) включительно.

Рис. 2.4 Копирование формул с предварительным «замораживанием» координат массива плана производства

Заполняем формулами столбец «остаток», для чего:

• устанавливаем курсор в ячейку на пересечении строки «мука» и столбца «остаток» и активируем ячейку, щелкнув левой кнопкой мыши;

• вводим в ячейку формулу (рис. 2.5) =D17-E17 ;

Рис. 2.5 Ввод формул в столбец «остаток»

• копируем формулу =D17-E17 в оставшиеся ячейки этого столбца. Для этого активируем ячейку с введенной формулой, щелкнув левой кнопкой мыши, и удерживая курсор в нажатом положении, протаскиваем его до последней ячейки в этом столбце, соответствующей последнему исходному продукту (ячейка Е20);

Переходим к вводу формулы по определению значения дохода, для чего:

• активируем свободную ячейку, в которую будет заноситься значение целевой функции;

• вызываем мастер функций, щелкнув по пиктограмме fx, и в появившемся окне в категории «математические» выбираем функцию СУММПРОИЗВ, щелкаем ОК;

• в появившемся окне в строку массив 1 вводим адреса ячеек, в которых размещены значения цен на продукцию предприятия (хлеб и батон), а в строку массив 2 адреса ячеек, в которых будут размещены неизвестные значения количества ед. продукции для получения оптимального плана производства (рис 2.6). Нажимаем ОК;

Рис. 2.6 Ввод формулы для определения величины дохода

Вычислительный этап

1). Запускаем программу «Поиск решения» командой Данные/ Анализ/ Поиск решения (Excel 2007) или Сервис/Поиск решения (Excel 2003 и ниже).⁴

2). Заполняем поля в появившемся окне:

• в поле «установить целевую ячейку» вводим адрес ячейки ($F$26), в которой будет находиться искомое значение дохода (рис. 2.7);

• в поле «изменяя ячейки» вводим адреса ячеек (рис. 2.7), в которых будут находиться искомые величины производства количества ед. хлеба и батона (В22:С22);

• устанавливаем курсор в поле ограничения и нажимаем кнопку добавить, щелкнув по ней левой кнопкой мыши;

• в появившемся окне «добавление ограничения» в поле «ссылка на ячейку» вводим значения столбца «использовано», для чего после активации ячейки на пересечении строки «мука» и столбца «использовано» (ячейка Е17) протаскиваем курсор до последней строки в этом столбце, соответствующей значению количества ед. последнего исходного продукта (ячейка Е20)

Рис. 2.7 Заполнение полей программы «Поиск решения»

• в поле «знак ограничения» (оно находится правее «изменяя ячейки» выбираем соответствующий знак ≤ ;

• в поле ограничение вводим значения количества ед. запасов по каждому исходному продукту, выделив столбец «Запасы» (рис. 2.8)

• переходим к вводу ограничений на значения переменных (выпуск хлеб) и , (выпуск батон) выполнив аналогичные действия, как и при вводе ограничений на запасы;

Рис. 2.8 Ввод ограничений в окне «поиск решения»

3). Переходим к заполнению окна «Параметры поиска решения», нажав кнопку «параметры» в окне «Поиск решения»:

• устанавливаем переключатель «линейная модель» (рис. 2.9);

• устанавливаем переключатель «неотрицательные значения» (рис. 2.9);

• нажимаем ОК.

4). Определяем оптимальный план производства:

• в окне «Поиск решения» нажимаем кнопку «выполнить»;

Рис. 2.9 Заполнение окна «Параметры поиска решения»

• в появившемся окне «Результаты поиска решения» (рис. 2.10)в поле тип отчета выбираем «результаты», «устойчивость» и нажимаем ОК.

Рис. 2.10 Работа в окне «Результаты поиска решения»

Анализ результатов расчетов

Получение максимального дохода в размере 219,1 денежных ед. возможно при производстве 150 ед. хлеба и 58,3 ед. батона.

Из отчета по устойчивости (рис. 2.11), который находится на следующем листе, мы видим, что дефицитным исходным продуктом является сахар. «Теневая цена» сахара составляет 2,02 денежных ед.

Руководству предприятия необходимо пояснить, что при увеличении запасов этого исходного продукта на 1 ед. наш доход увеличится на 2,02 и будет равен 221,12 денежных ед.

Следует разъяснить также и то, что «нормированная стоимость» хлеба - положительное число (0,6) означает, что принудительное увеличение выпуска этого продукта увеличит доход на 0,6 денежных ед. за каждую дополнительную единицу. Это вызвано тем, что согласно имеющегося на рынке спроса мы сами занизили величину выпуска хлеба.

Рис. 2.11 Отчет по устойчивости решения задачи

Очевидно, так как хлеб и батоны должны быть целыми числами, то после полученного отчета и анализа результата, мы можем, например, увеличить запас сахара на 1 единицу. Затем снова запустить программу «Поиск решения» и добавить ограничение относительно целочисленных переменных в плане производства. Поскольку при ограничениях на целочисленность переменных нельзя выводить отчеты по устойчивости решения, то сначала лучше его не вводить (как мы и сделали), а ввести его только после анализа результата и возможных изменениях исходных данных.

Результат при заданных ограничениях: чтобы получить максимальную прибыль в размере 221,1 д. ед. нужно производить 150 ед. хлеба и 60 ед. батонов (рис 2.12).

Рис. 2.12 Добавление ограничения на целочисленность переменных

Дополнительно к рассмотренным ограничениям зачастую вводится ограничение на ассортимент производимой продукции.

Ассортимент - набор товаров или услуг в определенной пропорции. Это довольно распространенное ограничение, особенно при выпуске комплектов продуктов из одних и тех же ресурсов.

Например, из исходных продуктов 4-х видов (мука, жиры, сахар, финансы) нужно произвести хлебобулочные изделия в ассортименте, характеризующемся соотношением количества производимого хлеба к количеству производимых ед. батона: .

Для решения задачи:

• в строке ограничения (рис. 2.13) вводим формулы =B28*B22 и =C28*C22 соответственно;

• запускаем программу «Поиск решения»;

• добавляем ограничения на ассортимент. При этом предварительно необходимо удалить ограничения на спрос;

Рис. 2.13 Исключение ограничений на спрос и добавление ассортиментных ограничений

• нажимаем кнопку «выполнить» и получаем результат.

При заданном ассортименте максимальный доход составит 217,7 денежных единиц. Такой доход возможен, если будет производиться 147,7 ед. хлеба и 59,1 ед. батонов. После этого следует опять проанализировать отчет по устойчивости и добавить ограничение целочисленности на выпуск продукции.