3.2. Функция Эйлера

Количество положительных целых чисел, не превосходящих n и взаимно простых с n, обозначается через ; числовая функция , определенная на множестве всех целых положительных чисел, называется функцией Эйлера. Легко видеть, что функция равна числу целых неотрицательных чисел, меньших n и взаимно простых с n.

Теорема.

1. Если - простое число, то ;

2. Если - простое число, то ;

3. Если - каноническое разложение натурального числа ; то

В теории сравнений важную роль играют теоремы Эйлера и Ферма.

Теорема Эйлера. Если целое число а взаимно просто с m, то

Теорема Ферма. Если целое число а не делится на простое число , то

3.3. Сравнения первой степени

Сравнением первой степени называют сравнение вида , где , - переменная.

Решить сравнение значит найти все целочисленные значения , при подстановке которых получается истинное числовое сравнение.

Сформулируем условия разрешимости сравнения первой степени.

Теорема. Если Н.О.Д. то сравнение имеет одно и только одно решение по модулю .

Теорема. Пусть Н.О.Д. Сравнение разрешимо тогда и только тогда, когда Если , то сравнение имеет своими решениями точно классов вычетов по модулю , которые составляют один класс вычетов по модулю

Теорема (китайская теорема об остатках). Пусть - попарно взаимно простые числа, и пусть - целые числа. Тогда существует единственное по модулю число такое, что

3.4. Сравнение высших степеней

Перейдем к рассмотрению вопроса о числе решений сравнения й степени.

Сравнение вида называют сравнением высшего порядка.

Теорема. Сравнение степени по простому модулю имеет не более решений.

Теорема. Пусть , Н.О.Д. , тогда сравнение равносильно системе сравнений

3.5. Цепные дроби

Пусть - рациональное число: Число можно представить в виде дроби особого вида. Это представление тесно связано с алгоритмом Евклида. Который заключается в следующем: так как ( - «частное», - «остаток»), для которых , где . То в свою очередь для чисел и найдутся и такие, что , где . Далее и такие, что , где и так далее до тех пор пока остаток не станет равен нулю. Тогда ; .

Применим алгоритм Евклида к числам и ; последовательно получим:

(3.1)

Из второго равенства получаем, что

(3.2)

Подставляя это выражение в первое равенство (3.1), получим:

(3.3)

Но из третьего равенства (3.1) следует, что

Подставляя это выражение в (3.3), получим:

В конце концов получаем:

(3.4)

Дробь вида (3.4) будем обозначать:

Представление (3.4) рационального числа называется конечной цепной или непрерывной дробью.

Теорема. Всякое рациональное число может быть представлено в виде конечной цепной дроби.

Дроби и т.д. называются подходящими дробями цепной дроби (3.4).

Выпишем реккурентные формулы для вычисления :

1)

2) при

3) Числители и знаменатели двух соседних подходящих дробей связаны соотношением:

Примеры решения задач

Задача №1

Выяснить, образует ли группу множество

всех линейных отображений числовой прямой на себя, относительно операции композиции отображения.

Решение:

Для того, чтобы множество являлось группой, необходимо и достаточно, чтобы на множестве его элементов было определено бинарная операция « », обладающая следующими свойствами:

Проверим выполнимость вышеуказанных аксиом для множества относительно операции композиции отображений. Итак, пусть

,

тогда

так как

,если .

Таким образом, нулевая аксиома выполняется.

Далее, пусть тогда:

.

Отображения и равны.

Рассмотрим элемент . Тогда, если , то , аналогично . Следовательно, в множестве относительно операции композиции отображений существует единичный элемент .

Проверим выполнимость четвёртой аксиомы. Для этого рассмотрим , обозначим , тогда

.

Если , то . То есть . Так как , то если .

Таким образом, если и при этом , то для существует - обратный элемент.

Если же , то есть , то для такого элемента обратный элемент не существует.

Итак, не для всякого элемента множество существует обратный элемент. Следовательно, не является группой.

Заметим, что если обозначить множество элементов с , то образует группу относительно операции композиции отображений.

Задача №2

Доказать, что фактор-группа мультипликативной группы невырожденных рациональных матриц порядка по подгруппе матриц с определителем, равным 1, изоморфна мультипликативной группе рациональных чисел, отличных от нуля.

Решение:

Для того, чтобы доказать требуемое, воспользуемся теоремой об изоморфизме, (см. п. 1.3).

Рассмотрим отображение , определённое следующим образом: .

Так как , следовательно гомоморфизм групп, при этом его образ , а ядро . На основании теоремы следует, что , то есть , что и требовалось доказать.

Задача №3

Найти порядок элемента мультипликативной группы комплексных чисел без нуля.

Решение:

Для того, чтобы найти порядок комплексного числа (см. п. 1.1), нужно найти . Итак, . Так как 1 является единичным элементом в группе , то .

Ответ: 4

Задача №4

Пусть . Решить уравнение . Найти порядок перестановки . Определить чётность перестановки .

Решение:

Для того, чтобы решить уравнение , необходимо умножить обе его части слева на перестановку обратную к . Тогда . Если перестановка действует следующим образом:

,

то обратная перестановка будет действовать в противоположную сторону:

или ,

поэтому

.

Для того чтобы найти порядок перестановки можно разложить его в произведение независимых (непересекающихся) циклов. Тогда наименьшее общее кратное длин этих циклов и будет являться порядком перестановки. В данном случае . Следовательно, .

Чётность перестановки можно определить по количеству инверсий в ней (см. п. 1.4.). Последнее определяется как количество таких пар элементов второй строки, в которых первым стоит число большее, нежели второе. Рассмотрим перестановку

.

Начнём с элемента 2, который стоит первым во второй строке. Он образует следующие пары: (24), (25), (26), (21) и (23), из которых лишь пара (21) образует инверсию. Далее элемент 4 и его пары: (45), (46), (41), (43). Инверсии образуют две пары (41) и (43). Элемент 5 образует инверсии с элементами 1 и 3. То же самое можно сказать и про элемент 6. Предпоследний элемент 1 образует лишь одну пару (13), но она инверсию не образует. Последний элемент 3 пар не образует (точнее его пары уже все рассматривались). Итак, количество инверсий перестановки равно . Число 7 является нечётным, следовательно, и перестановка нечётная.

Задача №5

Выяснить, является ли множество кольцом (полем) относительно операций и .

Решение:

Для того чтобы множество являлось кольцом относительно операций сложения и умножения необходимо и достаточно выполнения следующих аксиом (см. 2.1.):

Кроме этого, если

, то кольцо называется коммутативным если

, то кольцо называется кольцом с единичным элементом.

Если же в коммутативном кольце с единичным элементом , то называется полем.

Итак, нужно проверить выполняются ли все вышеуказанные аксиомы. Пусть тогда

,

так как .

Аналогично . Далее рассмотрим

Для того чтобы убедиться, что верна и вторая часть рассматриваемой аксиомы, отдельно раскроем значения выражений и .

Итак

Далее в качестве нулевого элемента рассмотрим . Пусть , то и наоборот . Если , то обратным к нему элементом является элемент, который можно обозначить , так как

Аксиома (4) следует из свойств коммутативности для действительных чисел:

.

Теперь свойство дистрибутивности:

Аналогично проверяется справедливость 2-го свойства дистрибутивности .

Из всего вышесказанного следует, что множество A является коммутативным кольцом с единичным элементом , так как

Далее для элемента найдём обратный элемент . Его «координаты» обозначим . Следовательно, должно выполняться равенство: или , то есть

.

Тогда

.

Откуда

,

если .

Итак, такой, что . Следовательно, A является полем.

Задача №6

Является ли идеалом множество в кольце вещественных матриц ?

Решение:

Проверим, образует ли множество идеал в кольце согласно определению (см. п. 2.3). Итак:

2) так как - нулевой элемент;

3) если , при этом

.

Из свойств 0) - 4) следует, что J является коммутативной группой по сложению. Заметим при этом, что аксиомы 1) – 4) можно было не проверять, так как они справедливы для всех элементов любого кольца в том числе и для тех его элементов, которые входят в J. Достаточно было бы проверить, что нулевой элемент кольца и противоположный элемент .

Теперь рассмотрим произведение на .

Итак

,

Следовательно, J является лишь правым идеалом кольца .

Задача №7

Разложить многочлен по степеням и найти значения его производных в точке .

Решение:

Согласно свойствам делимости в кольце многочленов с комплексными коэффициентами следует, что

такой, что . Коэффициенты многочлена удобнее находить по схеме Горнера (см. 2.4.), при этом все вычисления, как правило, оформляют в виде следующей таблицы – схемы:

			…
с			…		f(c)

В данном случае

	1	0	-4	6	-8	10
2	1	2	0	6	4	18

или

Далее разделим многочлен на так же по схеме Горнера

	1	2	0	6	4
2	1	4	8	22	48

то есть . Следовательно,

.

Тогда искомое разложение можно получить путём ещё 4-х кратного применения схемы Горнера. Все это можно оформить в виде таблицы – схемы.

	1	4		8		22
2	1	6		20		62
2	1	8		36
2	1	10
2	1

Откуда

.

С другой стороны многочлен , как непрерывно-дифференцируемую функцию, в окрестности точки можно разложить в ряд Тейлора следующим образом:

.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях скобки, получим, что

Задача №8

Разложить на неприводимые множители многочлен над кольцами Z[x] целочисленных многочленов, R[x] действительных многочленов и C[x] многочленов с комплексными коэффициентами.

Решение:

Поиск разложения следует начать с поиска корней данного многочлена. На основании теоремы о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами целочисленные корни следует искать среди делителей свободного коэффициента (см. 2.4.). В данном случае – среди делителей числа 6, то есть в множестве . Непосредственной подстановкой убеждаемся, что ни одно из этих чисел не является корнем многочлена , следовательно целочисленных корней он не имеет. Из указанной же теоремы следует, что рациональные корни многочлена нужно искать в виде несократимой дроби , где p - делитель свободного коэффициента, а q - делитель старшего коэффициента. Для многочлена , p - делитель числа 6, а q - делитель числа 2. Тогда . И вновь путём проверки выясняется, что лишь одно из этих чисел, а именно , является корнем многочлена. На основании теоремы Безу, если число с является корнем многочлена , то делится на , т.е. .

Деление многочлена на можно произвести по схеме Горнера (см. пример 7):

	2	-1	-7	13	-4	-6
	2	-2	-6	16	-12	0

Откуда

.

Где многочлен не имеет рациональных корней. Разложение найдём методом неопределённых коэффициентов, представив его в виде произведения двух многочленов второй степени, а именно

Раскроем скобки и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x:

.

Получается система

Одним из решений которой является следующий набор переменных:

A=-2; B=2; C=1; D=-3.

Тогда , следовательно

.

Так как многочлены не имеют целых корней, тогда искомое разложение над Z[x] найдено. Далее найдём корни последних многочленов второй степени:

Откуда разложение над R [x] выглядит следующим образом:

,

а над C [x]

.

Задача №9

С помощью ряда Штурма изолировать корни многочлена

Решение:

Сначала найдём границы корней данного многочлена (см. 2.4.). На основании теоремы о границе вещественных корней многочлена , где , следует, что его корни меньше числа , где А - максимум модулей отрицательных его коэффициентов, а т - индекс первого отрицательного коэффициента в последовательности . Для данного многочлена , следовательно, его корни не превышают числа . Нижняя граница корней совпадает с верхней границей для корней многочлена , взятого с противоположным знаком. В данном случае

,

тогда корни многочлена больше числа . Итак корни, если они есть, находятся на промежутке . Для того, чтобы определить, сколько их и в каких интервалах находятся, воспользуемся свойствами рядов Штурма. Алгоритм построения такого ряда гласит, что в качестве первого члена нужно взять сам многочлен, а в качестве - его производную. Далее для всех в качестве берётся остаток, с противоположным знаком с точностью до положительной константы, от деления на до тех пор, пока не получим многочлен нулевой степени.

Итак, в данном случае , т.к. , то в качестве можно взять многочлен , т.е. .

Далее разделим на с остатком, получим . Следовательно . Аналогично , откуда или в качестве последнего многочлена в ряде Штурма можно взять .

Таким образом, ряд Штурма для многочлена выглядит следующим образом:

Обозначим - количество перемен знаков в последовательности чисел для всех . Но для простоты вычислений в качестве C рассмотрим лишь целые числа, входящие в этот интервал, т.е. .

Все результаты вычислений занесём в таблицу, при этом, если при C=0 получаем , то в таблицу заносим лишь знаки этих чисел.

Итак,

C
	---	+	---	+	3
-2	---	+	---	+	3
-1	+	0	---	+	2
0	---	---	+	+	1
1	---	0	+	+	1
2	+	+	+	+	0
	+	+	+	+	0

Как утверждает теорема Штурма, на интервале многочлен имеет ровно столько действительных корней какова разница перемен знаков на концах этого промежутка, то есть . Поэтому на количество корней равно . Следовательно, многочлен имеет три действительных корня. Из построенной таблицы видно, что корни находятся в промежутках , так как именно у них разница количества перемен знаков на концах равна одному, а у других – нулю.

Задача №10

Решить диофантово уравнение .

Решение:

Для того, чтобы найти решение данного уравнения можно воспользоваться свойством линейной представимости наибольшего общего делителя чисел 43 и 51. Последнее можно найти с помощью алгоритма Евклида, последовательного деления с остатком. Для этого разделим 51 на 43 с остатком r₁, далее делим 43 на r₁ и получаем остаток r₂, делим r₁ на r₂ и так далее, до тех пор пока не разделится без остатка. Последний, не равный нулю, остаток и есть Н.О.Д. (43,51). Для того, чтобы не запутаться делимое, делитель и остаток будет подчёркивать.

Итак:

.

Из предпоследнего равенства выразим остаток 1=Н.О.Д. (43,51): . Далее поднимемся строчкой выше. Выразим остаток и подставим его в линейное представление Н.О.Д. (43,51) приведём подобные при подчёркнутых членах, т.е. . Рассмотрим следующий остаток и тоже подставим и его:

И, наконец, из первого равенства алгоритма Евклида . Следовательно

.

Итак, линейное представление наибольшего общего делителя чисел 43 и 51, получили: . Умножим обе части этого равенства на 62, получим . Следовательно, пара значений переменных является частным решением данного уравнения, а остальные решения могут быть найдены по формулам

где .

Итак, При Поэтому общий вид решений данного диофантного уравнения можно записать в виде

где .

Ответ: где .

Задача №11

Решить систему уравнений над полями Z₃ и Z₅.

Решение:

Рассмотрим поле (см. 2.3.). Выпишем таблицы сложения и умножения для него

“ + ”					“ ∙ ”

Учитывая, что число , то систему нужно переписать в виде

Решим эту систему методом Гаусса. Ко второму уравнению прибавим первое, умноженное на , а третье уравнение сложим тоже с первым. Получится

Из второго уравнения , тогда из третьего . Откуда путём прибавления к обеим частям получаем , а после умножения на - . Теперь подставим найденные значения переменных в первое уравнение системы: , откуда . Итак, данная система над полем Z₃ имеет единственное решение , , .

В поле таблицы сложения и умножения выглядят следующим образом:

“ ∙ ”

“+”

Так как , , то данная система над Z₅ имеет вид

Как и в предыдущем случае, решение этой системы будем искать методом Гаусса. Ко второму её уравнению прибавим первое, умноженное на , а к третьему – первое, умноженное на . Получим

Последние два уравнения противоречивы, следовательно, система решений не имеет.

Задача №12

Решить сравнение , используя:

А) свойство линейной представимости наибольшего общего делителя;

Б) свойство подходящих дробей;

В) теорему Эйлера.

Решение:

А) Найдём линейное представление наибольшего общего делителя чисел 31 и 200. Для этого распишем алгоритм Евклида, последовательного деления с остатком, для этих чисел (см. задачу 10). Итак

Следовательно

То есть линейное представление наибольшего общего делителя чисел 31 и 200 выглядит следующим образом: .

Умножим обе части этого равенства на 147, получим . Далее перейдём к сравнению по модулю 200, тогда . Откуда , то есть или . В итоге , где .

Б) Из алгоритма Евклида, выписанного в пункте А) для чисел 200 и 31 имеем, что рациональное число представимо в виде конечной цепной дроби следующим образом (см. 3.5.), где числа участвующие в представлении являются неполными частными в Алгоритме Евклида, (они не подчёркнуты). Обозначим их соответственно. По теореме о свойствах подходящих дробей справедливы следующие соотношения: если – n-я подходящая дробь (где n=1,2,3,4), то

1)

2)

Вычисление значений P_n и Q_n удобно располагать в виде таблицы

n	0	1	2	3	4
qn	6	2	4	1	2
Pn	6	13	58	71	200
Qn	1	2	9	11	31

Из свойства 2) для подходящих дробей, при n=4 получаем, что

.

Далее поступим аналогично случаю А), то есть умножим обе части последнего равенства на 147 и перейдём к сравнению по модулю 200. Получим ,откуда

где .

В) Если числа a и m взаимно простые, то по теореме Эйлера (см. 3.2.).Вычислим

.

Тогда , так как Н.О.Д.(31,200)=1. Умножим обе части сравнения на 147, получим или , откуда . Найдём наименьшее положительное число сравнимое с по модулю 200. Так как , то

.

Далее , поэтому

Итак , то есть , где .

Ответ: , где .

Задача №13

Решить систему сравнений

Решение:

Решить систему сравнений означает найти все целочисленные значения переменных х, при подстановке которых каждое выражение в системе становится истинным числовым сравнением. Для этого можно поступить следующим образом: найти значения х удовлетворяющие первому сравнению. Затем среди них выбрать те, которые удовлетворяют второму сравнению и, наконец, среди чисел удовлетворяющих первым двум сравнениям найти такие, которые являются решениями третьего сравнения. Итак, начнём с первого сравнения .

Его решения можно найти одним из тех способов, которые описаны в решении задачи №12. Но так, как в данном случае модулем является число достаточно небольшое, то решение можно найти и подбором. Для этого достаточно проверить 5 чисел: .Откуда или , где .

Подставим последнее выражение во второе, сравнение системы, получим:

И, наконец, воспользовавшись тем, что и получится или . Откуда , где . Но тогда , где . Теперь уже это новое значение подставим в третье сравнение системы и найдём

Так как и получаем или . Следовательно,

.

Ответ: .

Задача №14

Решить сравнение .

Решение:

Для того чтобы решить сравнение, нужно разложить модуль на простые сомножители (или их степени).

В данном случае . Тогда данное сравнение равносильно системе сравнений (см. п. 3.4)

Решим каждое сравнение системы в отдельности. Рассмотрим первое сравнение. Очевидно, что ни одно чётное число решением этого сравнения быть не может, то для его упрощения можно воспользоваться теоремой Эйлера (см. п. 3.2). Так как для всех нечётных чисел х , то , где . Тогда сравнение можно преобразовать к следующему виду или , а после сокращения .

Теперь рассмотрим второе сравнение системы. Для его упрощения воспользуемся теоремой Ферма (см. п. 3.2.). Поэтому сравнение можно преобразовать к виду . Получим сравнение второго порядка. Так как модуль сравнительно не большое число, то его решение можно найти подбором, рассмотрев числа . Откуда или .

Тогда, возвращаясь к системе сравнений, получаем

Решение последних систем сравнений первого порядка можно найти, воспользовавшись алгоритмом решения задачи 13. Получим и , где .

Ответ : , , , .

Задача №15

Верно ли, что график гиперболы не проходит через точки с целочисленными координатами?

Решение:

Предположим, что график гиперболы проходит через точку А с целочисленными координатами и . Тогда . Следовательно . Путем перебора возможных значений убеждаемся, что сравнение не имеет решений. Следовательно, и график гиперболы не может проходить через точки с целочисленными координатами.

Задачи для самостоятельного решения

Задание №1

Выясните, образуют ли группу каждые из следующих множеств при указанной операции над элементами:

1. а) множество натуральных чисел относительно операции ;

б) множество относительно операции .

2. a) множество относительно операции ;

б) множество относительно сложения рациональных чисел.

3. a) множество относительно умножения действительных чисел;

б) множество относительно операции .

4. а) множество натуральных чисел относительно операции ;

б) множество относительно операции сложения рациональных чисел.

5. а) множество относительно операции ;

б) множество корней n-ой степени из единицы (как действительные, так и комплексные) относительно умножения.

6. а) множество целых чисел относительно операции ;

б) множество относительно операции .

7. а) множество относительно операции ;

б) множество целых чисел, кратные данному натуральному числу n, относительно сложения.

8. а) множество относительно операции сложения рациональных чисел;

б) множество матриц порядка n с целыми элементами и определителем, равным единице, относительно сложения.

9. а) множество целых чисел относительно операции ;

б) множество относительно операции .

10. а) множество относительно операции ;

б) множество положительных рациональных чисел относительно умножения.

11. а) множество относительно операции ;

б) множество степеней данного действительного числа , , с целыми показателями относительно умножения.

12. а) множество натуральных чисел относительно операции ;

б) множество относительно операции умножения.

13. а) множество целых чисел относительно операции ;

б) множество относительно операции .

14. а) множество относительно операции ;

б) множество рациональных чисел, знаменатели которых – степени числа 2 с целыми неотрицательными показателями относительно сложения.

15. а) множество натуральных чисел относительно операции ;

б) множество относительно операции .

16. а) множество положительных рациональных чисел относительно деления;

б) множество относительно операции сложения.

17. а) множество относительно умножения;

б) множество матриц порядка n с целыми элементами и определителем, равным , относительно умножения.

18. а) множество относительно операции ;

б) множество действительных чисел, являющихся степенью числа 3 с целым показателем, относительно умножения.

19. а) множество относительно операции ;

б) множество относительно операции .

20. а) множество относительно операции ;

б) множество относительно операции .

Задание №2

1. Докажите, что фактор-группа аддитивной группы действительных чисел по подгруппе целых чисел изоморфна мультипликативной группе (комплексных чисел, модуль которых равен 1).

2. Докажите, что фактор-группа мультипликативной группы ненулевых комплексных чисел по подгруппе положительных действительных чисел изоморфна мультипликативной группе (см. п. 2.1.).

3. Докажите, что фактор-группа мультипликативной группы комплексных чисел отличных от нуля по подгруппе изоморфна мультипликативной группе положительных действительных чисел.

4. Докажите, что фактор-группа мультипликативной группы по подгруппе изоморфна .

5. Докажите, что фактор-группа мультипликативной группы ненулевых комплексных чисел по подгруппе изоморфно .

6. Докажите, что фактор-группа мультипликативной группы невырожденных действительных матриц порядка n по подгруппе матриц с определителем, равным 1, изоморфна мультипликативной группе действительных чисел, отличных от нуля.

7. Докажите, что фактор-группа мультипликативной группы невырожденных действительных матриц порядка n по подгруппе матриц с определителем, равным 1 или -1, изоморфна мультипликативной группе положительных действительных чисел.

8. Докажите, что фактор-группа мультипликативной группы невырожденных действительных матриц порядка n по подгруппе матриц с положительными определителями изоморфна циклической группе второго порядка.

9. Докажите, что фактор-группа мультипликативной группы невырожденных комплексных матриц порядка n по подгруппе матриц с определителем, по модулю равным единице, изоморфна мультипликативной группе положительных действительных чисел.

10. Докажите, что фактор-группа мультипликативной группы невырожденных комплексных матриц порядка n по подгруппе матриц с положительными действительными определителями изоморфна мультипликативной группе комплексных чисел, по модулю равных единице.

11. Докажите, что фактор-группа аддитивной группы комплексных чисел по подгруппе действительных чисел изоморфна .

12. Докажите, что фактор-группа аддитивной группы целых гауссовых чисел по подгруппе целых чисел изоморфно .

13. Докажите, что фактор-группа мультипликативной группы комплексных чисел, отличных от нуля, по подгруппе действительных чисел, отличных от нуля, изоморфна мультипликативной группе комплексных чисел, по модулю равных 1.

14. Докажите, что фактор-группа мультипликативной группы комплексных чисел с аргументами вида по подгруппе положительных действительных чисел изоморфна мультипликативной группе .

15. Докажите, что фактор-группа мультипликативной группы комплексных чисел с аргументами вида по подгруппе изоморфна мультипликативной группе положительных действительных чисел.

16. Докажите, что фактор-группа мультипликативной группы комплексных чисел отличных от нуля по подгруппе комплексных чисел с аргументами вида изоморфна мультипликативной группе .

17. Докажите, что фактор-группа мультипликативной группы невырожденных комплексных матриц порядка n по подгруппе изоморфна мультипликативной группе комплексных чисел, отличных от нуля.

18. Докажите, что фактор-группа мультипликативной группы действительных чисел, отличных от нуля, по подгруппе положительных действительных чисел изоморфна циклической группе второго порядка.

19. Докажите, что фактор-группа аддитивной группы целых чисел по подгруппе четных чисел изоморфна циклической группе второго порядка.

20. Докажите, что фактор-группа аддитивной группы по подгруппе рациональных чисел изоморфна .

Задание №3

1. Найдите порядок элемента мультипликативной группы комплексных чисел без нуля.

2. Найдите порядок элемента мультипликативной группы комплексных невырожденных матриц второго порядка.

3. Найдите порядок элемента мультипликативной группы комплексных чисел без нуля.

4. Найдите порядок элемента мультипликативной группы комплексных невырожденных матриц второго порядка.

5. Найдите порядок элемента мультипликативной группы комплексных чисел без нуля.

6. Найдите порядок элемента мультипликативной группы комплексных невырожденных матриц второго порядка.

7. Найдите порядок элемента мультипликативной группы комплексных чисел без нуля.

8. Найдите порядок элемента мультипликативной группы комплексных чисел без нуля.

9. Найдите порядок элемента мультипликативной группы комплексных невырожденных матриц второго порядка.

10. Найдите порядок элемента мультипликативной группы комплексных чисел без нуля.

11. Найдите порядок элемента мультипликативной группы комплексных чисел без нуля.

12. Найдите порядок элемента мультипликативной группы комплексных невырожденных матриц второго порядка.

13. Найдите порядок элемента мультипликативной группы комплексных невырожденных матриц второго порядка.

14. Найдите порядок элемента мультипликативной группы комплексных чисел без нуля.

15. Найдите порядок элемента мультипликативной группы комплексных невырожденных матриц второго порядка.

16. Найдите порядок элемента мультипликативной группы комплексных чисел без нуля.

17. Найдите порядок элемента мультипликативной группы комплексных невырожденных матриц второго порядка.

18. Найдите порядок элемента мультипликативной группы комплексных чисел без нуля.

19. Найдите порядок элемента мультипликативной группы комплексных невырожденных матриц второго порядка.

20. Найдите порядок элемента мультипликативной группы комплексных чисел без нуля.

Задание №4

1) Решить уравнения: ; ;

2) Найти порядок перестановки , предварительно разложив ее на циклы;

3) Определить четность перестановки .

1. ; .

2. ; .

3. ; .

4. ; .

5. ; .

6. ; .

7. ; .

8. ; .

9. ; .

10. ; .

11. ; .

12. ; .

13. ; .

14. ; .

15. ; .

16. ; .

17. ; .

18. ; .

19. ; .

20. ; .

Задание №5

Выяснить, какие из следующих множеств являются кольцами, полями:

1. а) множество относительно операций сложения и умножения действительных чисел;

б) множество относительно операций сложения и умножения ?

2. а) множество относительно операций сложения и умножения действительных чисел;

б) множество относительно операций сложения и умножения матриц?

3. а) множество относительно операций сложения и умножения действительных чисел;

б) множество непрерывных на функций относительно операций сложения и умножения?

4. а) множество относительно операций сложения и умножения действительных чисел;

б) множество целочисленных матриц порядка n относительно операций сложения и умножения матриц?

5. а) множество относительно операций сложения и умножения действительных чисел;

б) множество многочленов с рациональными коэффициентами относительно операций сложения и умножения?

6. а) множество относительно операций сложения и умножения действительных чисел;

б) множество многочленов с рациональными коэффициентами и нулевым свободным членом относительно операций сложения и умножения?

7. а) множество относительно операций сложения и умножения действительных чисел;

б) множество многочленов с целыми коэффициентами относительно операций сложения и умножения?

8. а) множество относительно операций сложения и умножения действительных чисел;

б) множество многочленов с целыми коэффициентами и нулевым свободным членом относительно операций сложения и умножения?

9. а) множество относительно операций сложения и умножения действительных чисел;

б) множество непрерывных на функций относительно операций сложения и умножения?

10. а) множество относительно операций сложения и умножения действительных чисел;

б) множество матриц порядка n с рациональными элементами относительно операций сложения и умножения матриц?

11. а) множество относительно операций сложения и умножения действительных чисел;

б) множество невырожденных целочисленных матриц порядка n относительно операций сложения и умножения матриц?

12. а) множество относительно операций сложения и умножения действительных чисел;

б) множество невырожденных матриц порядка n с рациональными элементами относительно операций сложения и умножения матриц?

13. а) множество относительно операций сложения и умножения действительных чисел;

б) множество невырожденных действительных матриц порядка n относительно операций сложения и умножения матриц?

14. а) множество относительно операций сложения и умножения действительных чисел;

б) множество действительных матриц с определителями, равными единице, относительно операций сложения и умножения матриц?

15. а) множество относительно операций сложения и умножения действительных чисел;

б) множество матриц с рациональными элементами и определителями, равными единице, относительно операций сложения и умножения матриц?

16. а) множество относительно операций сложения и умножения действительных чисел;

б) множество целочисленных матриц с определителями, равными единице, относительно операций сложения и умножения матриц?

17. а) множество относительно операций сложения и умножения действительных чисел;

б) множество относительно операций сложения и умножения матриц?

18. а) множество относительно операций сложения и умножения действительных чисел;

б) множество относительно операций сложения и умножения матриц?

19. а) множество относительно операций сложения и умножения действительных чисел;

б) множество относительно операций сложения и умножения матриц?

20. а) множество относительно операций сложения и умножения действительных чисел;

б) множество относительно операций сложения и умножения матриц?

Задание №6

Являются ли следующие множества идеалами указанных колец:

1. а) множество многочленов с четными коэффициентами в кольце многочленов с целыми коэффициентами;

б) множество натуральных чисел в кольце целых чисел?

2. а) множество в кольце целых гауссовых чисел;

б) множество в кольце действительных матриц 2-ого порядка?

3. а) множество целочисленных многочленов с четным свободным членом в кольце целочисленных многочленов;

б) множество в кольце действительных матриц 2-ого порядка?

4. а) множество целочисленных многочленов, не содержащих членов , для k<n, где n>1 , в кольце целочисленных многочленов;

б) множество нечетных чисел в кольце целых чисел?

5. а) множество чисел, делящихся на 5, в кольце целых чисел;

б) множество в кольце действительных матриц 2-ого порядка?

6. а) множество чисел, делящихся на 7, в кольце целых чисел;

б) множество в кольце целых гауссовых чисел?

7. а) множество чисел, делящихся на 3, в кольце целых чисел;

б) множество многочленов с целыми коэффициентами в кольце многочленов с действительными коэффициентами?

8. а) множество многочленов с коэффициентами, делящимися на 5, в кольце многочленов с целыми коэффициентами;

б) множество в кольце целых гауссовых чисел?

9. а) множество многочленов с коэффициентами, делящимися на 7, в кольце многочленов с целыми коэффициентами;

б) множество в кольце целых гауссовых чисел?

10. а) множество многочленов с коэффициентами, делящимися на 3, в кольце многочленов с целыми коэффициентами;

б) множество целых чисел в кольце целых гауссовых чисел?

11. а) множество многочленов с нулевым свободным членом в кольце многочленов с целыми коэффициентами;

б) множество в кольце целых гауссовых чисел?

12. а) множество многочленов, не содержащих членов со степенями меньше двух, в кольце многочленов с целыми коэффициентами;

б) множество в кольце действительных матриц второго порядка?

13. а) множество многочленов, не содержащих членов со степенями меньшими трех, в кольце многочленов с целыми коэффициентами;

б) множество в кольце целых гауссовых чисел?

14. а) множество в кольце целых гауссовых чисел;

б) множество многочленов с нечетным свободным членом в кольце многочленов с целыми коэффициентами?

15. а) множество в кольце целых гауссовых чисел;

б) множество многочленов с единичным старшим коэффициентом в кольце многочленов с целыми коэффициентами?

16. а) множество действительных чисел в кольце комплексных чисел;

б) множество многочленов, степень которых не превосходит числа n, в кольце многочленов с целыми коэффициентами?

17. а) множество многочленов, коэффициенты которых кратны числу n>1, в кольце многочленов с целыми коэффициентами;

б) множество целых чисел в кольце многочленов с целыми коэффициентами?

18. а) множество мнимых чисел в кольце комплексных чисел;

б) множество многочленов с целыми коэффициентами в кольце многочленов с рациональными коэффициентами?

19. а) множество в кольце ;

б) множество многочленов с четными старшими коэффициентами в кольце многочленов с целыми коэффициентами?

20. а) множество чисел, кратных числу n>1, в кольце целых чисел;

б) множество многочленов четной степени в кольце многочленов с целыми коэффициентами?

Задание №7

Используя схему Горнера, найти значение многочлена и всех его производных при :

1. ; .

2. ; .

3. ; .

4. ; .

5. ; .

6. ; .

7. ; .

8. ; .

9. ; .

10. ; .

11. ; .

12. ; .

13. ; .

14. ; .

15. ; .

16. ; .

17. ; .

18. ; .

19. ; .

20. ; .

Задание №8

Разложить на неприводимые множители многочлен на , , :

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

19. .

20. .

Задание №9

С помощью ряда Штурма изолировать корни многочлена (т.е. указать интервалы, в которых бы находился только один корень):

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

19. .

20. .

Задание №10

Решить диофантово уравнение:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

Задание №11

Решить систему уравнений над и :

11.1. 11.11.

11.2. 11.12.

11.3. 11.13.

11.4. 11.14.

11.5. 11.15.

11.6. 11.16.

11.7. 11.17.

11.8. 11.18.

11.9. 11.19.

11.10. 11.20.

Задание №12

Решить сравнения используя

а) 1) свойство линейной представимости Н.О.Д;

2) теорему Эйлера;

3) свойства непрерывных дробей;

б) в) любой из перечисленных способов.

1. а) ; б) ; в) .

2. а) ; б) ; в) .

3. а) ; б) ; в) .

4. а) ; б) ; в) .

5. а) ; б) ; в) .

6. а) ; б) ; в) .

7. а) ; б) ; в) .

8. а) ; б) ; в) .

9. а) ; б) ; в) .

10. а) ; б) ; в) .

11. а) ; б) ; в) .

12. а) ; б) ; в) .

13. а) ; б) ; в) .

14. а) ; б) ; в) .

15. а) ; б) ; в) .

16. а) ; б) ; в) .

17. а) ; б) ; в) .

18. а) ; б) ; в) .

19. а) ; б) ; в) .

20. а) ; б) ; в) .

Задание №13

Решить сравнения:

13.1.a) ; 13.11.a) ;

b) . b) .

13.2.a) ; 13.12.a) ;

b) . b) .

13.3.a) ; 13.13.a) ;

b) . b) .

13.4.a) ; 13.14.a) ;

b) . b) .

13.5.a) ; 13.15.a) ;

b) . b) .

13.6.a) ;13.16.a) ;

b) . b) .

13.7.a) ; 13.17.a) ;

b) . b) .

13.8.a) ;13.18.a) ;

b) . b) .

13.9.a) ;13.19.a) ;

b) . b) .

13.10.a) .13.20.a) ;

b) . b) .

Задание №14

Решить систему сравнений:

14.1. 14.11.

14.2. 14.12.

14.3. 14.13.

14.4. 14.14.

14.5. 14.15.

14.6. 14.16.

14.7. 14.17.

14.8. 14.18.

14. 9. 14.19.

14.10. 14.20.

Задание №15

Верно ли, что:

1. график гиперболы не проходит через точки с целыми координатами?

2. на кривой нет точек с целыми координатами?

3. график гиперболы не проходит через точки с целыми координатами?

4. на кривой нет точек с целыми координатами?

5. график гиперболы не проходит через точки с целыми координатами?

6. на кривой нет точек с целыми координатами?

7. график гиперболы не проходит через точки с целыми координатами?

8. на кривой нет точек с целыми координатами?

9. график гиперболы не проходит через точки с целыми координатами?

10. на кривой нет точек с целыми координатами?

11. график гиперболы не проходит через точки с целыми координатами?

12. на кривой нет точек с целыми координатами?

13. график гиперболы не проходит через точки с целыми координатами?

14. на кривой нет точек с целыми координатами?

15. график гиперболы не проходит через точки с целыми координатами?

16. на кривой нет точек с целыми координатами?

17. график гиперболы не проходит через точки с целыми координатами?

18. на кривой нет точек с целыми координатами?

19. график гиперболы не проходит через точки с целыми координатами?

20. на кривой нет точек с целыми координатами?