2.2. Кольцо многочленов. Делимость в кольце многочленов

Пусть – коммутативное кольцо с единицей 1.

Многочленом над кольцом будем называть последовательность при любых , в котором только лишь конечное число элементов не равны нулю.

Два многочлена и будем называть равными, если для любых выполняется условие

Пусть имеем и .

На множестве многочленов введем операцию сложения и умножения по следующему правилу:

1)

2) , где

Тогда множество многочленов над кольцом , как и само , является коммутативным кольцом с единицей (1,0,0,…).

Многочлены вида ( ,0,0,…) складываются и умножаются так же, как элементы кольца . Это позволяет отождествить такие последовательности с соответствующими элементами из , т.е. положить =( ,0,0,…) для всех . Обозначим далее (0,1,0,0,…) через и назовем переменной над . Используя введенную операцию умножения, находим, что

Кроме того .

Итак, если - последний отличный от нуля член последовательности , то в новых обозначениях:

.

В дальнейшем многочлен будем записывать в виде . Элементы называются коэффициентами многочлена . Отдельно выделяют два из них - старший коэффициент и - свободный коэффициент (свободный член). Число называется степенью многочлена ( ), при этом полагают .

Кольцо многочленов с коэффициентами из кольца обозначают .

Для любых двух многочленов и из кольца , где - поле, можно найти такие многочлены и , что

,

причем степень меньше степени или же Многочлены и , удовлетворяющие этому условию, определяются однозначно.

Многочлен называется частным от деления на , а - остатком от этого деления.

Если же остаток (т.е. ), то говорят, что многочлен делится на многочлен .

Многочлен ненулевой степени из кольца называется неприводимым в (или неприводимым над полем ), если он не делится ни на какой многочлен , у которого .

В частности, всякий многочлен первой степени неприводим.

Очевидно, что неприводимость многочлена степени >1 или разложение его на неприводимые множители – понятия, тесно связанные с основным полем , так как многочлен, неприводимый в этом поле, может оказаться приводимым в некотором его расширении.

2.3. Идеалы колец

Подгруппа аддитивной группы (К,+) кольца К называется левым (правым) идеалом, если и . Если идеал является одновременно левым и правым, то он называется двусторонним или просто идеалом. Например, идеалом является множество , целых чисел делящихся на , в кольце целых чисел .

Пусть К – кольцо, - двусторонний идеал. Для любого элемента множество называется его классом смежности. Множество классов смежности элементов кольца К относительно идеала обозначают . является кольцом, называемым фактор-кольцо. Если на нем рассматривать две бинарные операции, определенные следующим образом:

1)

2) .

Фактор-кольцо обозначают . Оно состоит из различных элементов и является полем тогда и только тогда, когда простое число.