Кузьмин М. С.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И

СБОРНИК ЗАДАНИЙ К ТИПОВОМУ РАСЧЕТУ

по курсу “Общая алгебра и теории чисел”

для студентов, обучающихся по специальности и направлению

“Прикладная математика”

Ижевск 2007

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

“ИЖЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ”

ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

ПРОЦЕССОВ И ТЕХНОЛОГИЙ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И

СБОРНИК ЗАДАНИЙ К ТИПОВОМУ РАСЧЕТУ

по курсу “Общая алгебра и теории чисел”

для студентов, обучающихся по специальности и направлению

“Прикладная математика”

Ижевск 2007

УДК

Составитель: ст. преп. М. С. Кузьмин

Рецензент: докт. техн. наук., проф. И. Г. Русяк

Рекомендовано к изданию на заседании кафедры “Математическое моделирование процессов и технологий” факультета “Прикладная математика” 22.05.2007 г.

Методические указания и сборник заданий к типовому расчету по курсу “Общая алгебра и теория чисел” для студентов, обучающихся по специальности и направлению “Прикладная математика” [Текст] / Сост. М. С. Кузьмин. – Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2007. – 71 с.

Методические указания содержат краткие сведения из общей алгебры и теории чисел, необходимые для решения предлагаемых во второй части задач. Подготовлены на основе курса “Общая алгебра и теория чисел” читаемого на факультете “Прикладная математика” ИжГТУ.

Методические указания и сборник заданий составлены с учетом требований к профессиональной подготовленности выпускника по специальности “Прикладная математика”

© Кузьмин М. С.,

составление, 2007

© Издательство ИжГТУ, 2007

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП…………………………………….………..5

1.1. Бинарная операция. Формы записи. Группа…………..………….………..5

1.2. Гомоморфизм и изоморфизм групп……………………….……….…………6

1.3. Фактор-группа………………………………………………..…………....……7

1.4. Перестановка. Циклы. Четность. Свойства…………..……….…………8

2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КОЛЕЦ (кольцо многочленов)….………….…….11

2.1. Понятие кольца и поля. Свойства……………………………………..……11

2.2. Кольцо многочленов. Делимость в кольце многочленов……………..….12

2.3. Идеалы колец………………………………………………………………...….14

2.4. Корни многочлена. Теорема Безу……………………………………….……14

3. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ……………………………………………...17

3.1. Сравнения. Свойства сравнений…………………………………………....17

3.2. Функция Эйлера……………………………………………………….…..……18

3.3. Сравнения первой степени………………………………………….………..18

3.4. Сравнение высших степеней……………………………………….………..19

3.5. Цепные дроби……………………………………………………………………19

4. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ…………………………………….………..22

5. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ…………….………..46

Список литературы……………………………………………….………………….…71

1. Элементы теории групп

1.1. Бинарная операция. Формы записи. Группа

Важнейшим типом алгебраических систем с одной операцией являются группы. Это понятие обладает чрезвычайно широкой областью применений и служит предметом большой самостоятельной науки – теории групп.

Введем основные понятия, использующиеся в теории групп.

Пусть Х - непустое множество.

Бинарной операцией, определенной над Х, называется отображение

Как правило, для обозначения бинарной операции вместо пишут , при этом используют какой-нибудь специальный символ: .

Непустое множество Х с бинарной операцией *, введенной на этом множестве, называется алгебраической структурой

Бинарная операция на множестве Х называется ассоциативной, если для всех ; она называется коммутативной, если . Те же названия присваиваются и соответствующей алгебраической структуре .

Элемент называется единичным (или нейтральным) относительно рассматриваемой бинарной операции *, если для всех .

Элемент называется обратным к элементу , если .

Определение. Алгебраическая структура называется группой, если

1) Бинарная операция ассоциативна;

2) В ней существует нейтральный (единичный) элемент ;

3) Для каждого элемента существует обратный .

Подмножество называется подгруппой в , если ; и .

Порядком элемента группы называется наименьшее натуральное число такое, что , где - единичный элемент группы.

Если такого числа не существует, то говорят, что порядок элемента равен бесконечности. Обозначают (или ).

1.2. Гомоморфизм и изоморфизм групп

Пусть и две группы. Отображение называется гомоморфизмом, если .

Ядром гомоморфизма называется множество , где - единица группы .

Образом гомоморфизма называется множество .

Определим, какая запись называется мультипликативной, а какая – аддитивной.

При мультипликативной записи бинарную операцию называют умножением и пишут или вместо , унитарную операцию называют операцией перехода к обратному элементу и обозначают a , нейтральный элемент называют единицей группы и обозначают или 1.

При аддитивной записи бинарную операцию называют сложением чисел, унарную операцию называют операцией перехода к противоположному элементу, нейтральный элемент называют нулем группы и обозначают 0.

Следует помнить, что противопоставление “аддитивные группы – мультипликативные группы” не относятся к противопоставлению самих понятий, а лишь к условным обозначениям. При трактовке абелевых групп в основном пользуются аддитивной записью, при изложении положений, относящихся к произвольным группам, - общепринятой мультипликативной системой обозначения.

Перечислим свойства гомоморфизма групп:

1)

2) ;

3)

Если гомоморфизм групп является взаимнооднозначным, то он называется изоморфизмом, а группы изоморфными.

1.3. Фактор-группа

Множество , где - подгруппа группы , называется левым классом смежности элемента по подгруппе . Аналогично определяется правый класс смежности . Если подгруппа группы такова, что для всякого элемента его левый класс смежности совпадает с правым (т.е. ), то она называется нормальной подгруппой группы .

Стоит заметить, что если - гомоморфизм групп и , то нормальная подгруппа , а подгруппа .

Множество смежных классов элементов группы по нормальной подгруппе обозначается ( ).

На множестве введем бинарную операцию следующим образом: . Тогда является группой, называемой фактор-группой группы по подгруппе .

Теорема (об изоморфизме). Гомоморфный образ группы изоморфен фактор-группе по ядру гомоморфизма ( ).