12.2. Пересечение конической поверхности вращения плоскостью

В зависимости от направления секущей плоскости в сечении конической поверхности вращения могут получиться различные линии. Они называются коническими сечениями. На рис. 12.4 приведена фронтальная проекция конической поверхности вращения (ось i параллельна П₂) и фронтально проецирующие плоскости …, На рис. 12.5 показаны наглядные изображения результатов пересечения плоскостями тел, ограниченных конической поверхностью вращения.

В результате пересечения конуса плоскостью, перпендикулярной оси конуса, получается окружность (рис. 12.4, а).

Эллипс получается в том случае, если секущая плоскость пересекает все образующие поверхности и не перпендикулярна оси i (рис. 12.4, б).

Плоскость параллельна одной образующей поверхности и пересекает одну половину конической поверхности. Сечением является парабола (рис. 12.4, в).

Плоскость параллельна двум образующим и пересекает обе половины конической поверхности (сечение – гипербола) (рис. 12.4, г).

Плоскость проходит через вершину конической поверхности (сечение – две пересекающиеся прямые) (рис. 12.4, д).

а) б) в) г) д)

Рис. 12.5

12.3. Пересечение линии и поверхности.

Л иния и поверхность пересекаются в общем случае в нескольких точках А, В, … . Алгоритм их определения может быть построен на тех же рассуждениях, что и при построении точки пересечения прямой и плоскости. Действительно, точки , , … пересечения линии m и поверхности  принадлежат также линиям, проходящим через эти точки и лежащим на заданной поверхности. Кривую n можно рассматривать как проекцию линии m на поверхность . Тогда, в случае параллельного проецирования, линии n и m будут располагаться на одной цилиндрической поверхности, у которой направляющей является кривая m, а образующие параллельны направлению проецирования. В случае если линия прямая, то n и m находятся в одной плоскости  (рис. 12.6). Если направление проецирования будет перпендикулярно какой-либо плоскости проекций, линии n и m будут конкурирующими относительно соответствующей плоскости проекций.

Пример 1. Даны прямая m и тор. Построить точки пересечения прямой и поверхности. (рис. 12.7)

Решение.

1. Выбираем на заданной поверхности линию n, например, фронтально конкурирующую с заданной прямой m. Линии n и m пересекаются, т.к. они находятся в одной фронтально-проецирую-щей плоскости.

2. Определяем горизонтальную проекцию линии n (n₁), исходя из условия принадлежности ее поверхности.

3 . Находим точки  и  пересечения линий n и m, которые и являются искомыми.

4. Устанавливаем види-мость проекций прямой. Так, как участок  прямой m, рас-положен внутри поверхности, то он невидим на ₁ и ₂. Кроме этого, на ₂ невидим отрезок прямой m правее точки ₂ до точки на очерке поверхности, а на ₁ – левее точки 5₁, также до точки на очерке поверхности. Эти отрезки закрыты поверхностью – находятся за контурами поверхности.

Пример 2. Даны кривая n и цилиндроид (a, b, ) (рис. 12.8). Построить точки пере-сечения линии и поверхности.

Решение.

1 . На поверхности цилиндроида вводим кривую m, фронтально конкурирующую с линией n. Эти кривые пересекаются (в общем случае), т.к. расположены на одной фронтально проецирующей цилиндрической поверхности, у которой линия n – направляющая, а образующие перпендикулярны ₂.

2. Строим горизонтальную про-екцию кривой m(m₁) (m).

3. Находим горизонтальную про-екцию точки (₁) - ₁ = n₁  m₁, а затем и ₂(₂  n₂).

Пример 3. Даны прямая n и коническая поверхность (рис. 12.9). Построить точки пересечения линии и поверхности.

Решение. Поставленную задачу также можно решить, задав на конической поверхности линию m, конкурирующую с прямой n относительно плоскости проекций ₁ или ₂. Полученные кривые будут лекальные, что требует значительных построений и снижает точность решения задачи. Так как заданная поверхность линейчатая, то в качестве линии m на поверхности целесообразно взять прямую (или прямые). Тогда алгоритм решения задачи будет следующим:

1. Спроецируем из точки S прямую n на плоскость ₁, т.е. определим центральную проекцию прямой n на плоскость ₁. Для этого проводим два проецирующих луча через точки 1 и 5 прямой до пересечения с плоскостью проекций ₁. Точки 1 и 2 задают центральную проекцию прямой n на ₁.

2. Строим образующие m¹ и m² на конической поверхности, конкурирующие с n относительно П₁ при ее центральном проецировании.

3. Находим точки  и  пересечения прямой n с образующими m¹ и m². Точки  и  – искомые.

4. Устанавливаем видимость проекций прямой n.