11.5.1. Линейчатые поверхности с двумя направляющими и плоскостью параллелизма

В инженерной практике наибольшее распространение получили линейчатые поверхности, у которых одна из направляющих является несобственной прямой. На чертеже ее представителем является плоскость параллелизма. Образующая в своем движении пересекает две направляющие и параллельна некоторой плоскости  – плоскости параллелизма. Такие поверхности называют поверхностями Каталана. Определитель такой поверхности имеет вид Ф(; k, l).

В зависимости от формы направляющих различают следующие поверхности Каталана: цилиндроид, коноид и гиперболический параболоид (косая плоскость). Цилиндроид – линейчатая поверхность с плоскостью параллелизма, у которой обе направляющие являются кривыми линиями. На рис. 11.2,а показан отсек (часть) цилиндроида, у которого плоскость параллелизма  – горизонтально проецирующая. На горизонтальной плоскости проекций образующие параллельны между собой и параллельны следу плоскости (₁). Фронтальные проекции образующих построены исходя из условия пересечения направляющих k и l в соответствующих точках 1, 2, 3, …, 10. У коноида, в отличие от цилиндроида, одна из направляющих прямая. Гиперболический параболоид получается в результате перемещения прямой по двум скрещивающимся прямолинейным направляющим.

Образующая все время остается параллельной плоскости параллелизма. На рис. 11.2, б плоскость  – фронтально проецирующая и проекции образующих параллельны фронтальному следу плоскости (₂).

Рассмотрим принадлежность точки поверхностям Каталана. Пусть задана фронтальная проекция точки A(A₂), принадлежащей поверхности цилиндроида (рис. 11.2, а). Требуется построить горизонтальную проекцию точки А. В соответствии с условием принадлежности точки поверхности проведем через А₂ проекцию линии m(m₂), принадлежащей цилиндроиду. Так как линия m принадлежит поверхности, строим горизонтальные проекции точек пересечения кривой m с образующими цилиндроида. Множество полученных точек задают горизонтальную проекцию линии m(m₁). Искомая проекция точки А(А₁) будет расположена на m₁.

Пусть теперь фронтальная проекция точки А(А₂ ) задана на поверхности гиперболического параболоида. И в этом случае через А₂ можно провести проекцию произвольной кривой m. Однако здесь известно, что проекции образующих параллельны следу плоскости (₂). Тогда через А₂ проводим проекцию образующей KL(K₂L₂) параллельно ₂. Горизонтальную проекцию KL проводим через точки K₁ и L₁, принадлежащих направляющим k и l, соответственно. Искомая проекция точки А(А₁) будет расположена на K₁L₁.

11.5.2. Коническая и цилиндрическая поверхности

Коническая поверхность образуется движением прямолинейной образующей по криволинейной направляющей. При этом образующая проходит через

некоторую неподвижную точку S, которая называется вершиной (рис. 11.3, а). Коническая поверхность является частным случаем линейчатых поверхностей общего вида, когда две направляющие, например l и m, пересекаются в точке S. Геометрическая часть определителя конической поверхности включает направляющую k и вершину S. В зависимости от вида направляющей коническая поверхность может быть замкнутой и незамкнутой.

Цилиндрическая поверхность получается в том случае, когда все прямолинейные образующие проходят через направляющую k и пересекаются в несобственной точке S (рис. 11.3, б). Геометрическая часть определителя конической поверхности включает направляющую k и несобственную вершину S (направляющий вектор). Цилиндрическая поверхность также может быть незамкнутой или замкнутой.

Точка А принадлежит данным поверхностям, так как она принадлежит образующим этих поверхностей. На конической поверхности она принадлежит образующей 2S, а на цилиндрической – образующей t.

11.5.3. Торс

Т орс (поверхность с ребром возврата) образуется движением прямолинейной образующей, касающейся во всех своих положениях некоторой пространственной кривой, называемой ребром возврата (от франц. «tors»)  витой, крученный).

Ребро возврата m является направляющей торса. Торс состоит из двух полостей, разделенных ребром возврата (рис. 11.4).

Если ребро возврата вырождается в точку, поверхность торса превращается в коническую поверхность. В случае, если ребро возврата является несобственной точкой, торсовая поверхность становится цилиндрической.