8.2. Определение расстояния между параллельными фигурами

Задача. Даны параллельные прямые АВ и CD. Определить расстояние между этими прямыми (рис. 8.4).

Решение задачи выполним методом замены плоскостей проекций. Для этого вначале введем новую систему плоскостей проекций П₁, П₄ с осью проекций

х₁ // А₁В₁ и определим НВ отрезков АВ и CD. Получим А₄В₄ = НВ отрезка АВ; D₄С₄ = НВ отрезка DC. Затем введем новую систему плоскостей проекций П₄, П₅ с осью х₂ ^ А₄В₄ и построим точки D₅ = С₅ и А₅ = В₅ , которые будут вырожденными проекциями отрезков АВ и CD. Искомым расстоянием (AB, CD) будет (А₅, D₅ ). Остается построить основные проекции отрезка длины . Эту часть решения задачи предлагается выполнить самостоятельно.

Задача. Даны параллельные фигуры: прямая а и плоскость Σ. Определить расстояние между а и Σ (рис. 8.5).

Д ля решения задачи необходимо взять на прямой а произвольную точку А и определить расстояние (А, Σ).

Так как (a, Σ) = (A, Σ), то расстояние (A, Σ) будет решением данной задачи. Определение расстояния (A,Σ) было показано

ранее.

Задача. Даны параллельные плоскости Σ и Δ. Определить расстояние между Σ

и Δ (рис. 8.6).

Для решения задачи необходимо взять на одной из плоскостей, например Σ, точку А и определить расстояние (A, Δ). Так как (Σ, Δ) = (A, Δ), то найденное расстояние (A, Δ) будет решением задачи.

8.3. Определение расстояния между скрещивающимися прямыми

Приведем без доказательств сведения из стереометрии, необходимые для решения названной задачи.

1. Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называется отрезок,

концы которого лежат на данных прямых и который перпендикулярен к ним.

2. Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых существует и единствен.

3. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра.

Задача. Даны скрещивающиеся прямые АВ и CD. Определить расстояние между прямыми (рис. 8.7).

Решение задачи выполним методом замены плоскостей проекций. Проекционный алгоритм решения в этом случае может быть следующим:

1) вводится новая система плоскостей проекций

П₁, П₄ , таким образом, что П₄ // АВ, т.е. на КЧ

строится ось х₁ // А₁В₁;

2) на П₄ строятся новые проекции А₄В₄ ( НВ отрезка АВ) и C₄D₄ ;

3) вводится новая система плоскостей П₄, П₅ с

осью х₂ ^ А₄В₄ такая, что П₅ ^ AB;

4) на П₅ строятся новые проекции – отрезок C₅D₅ и точка А₅ = В₅;

5) строится перпендикуляр E₅F₅ ^ C₅D₅ из точки

Е₅( = А₅ = В₅);

В итоге, по смыслу построений в методе замены плоскостей проекций и приведенному понятию расстояния между скрещивающимися прямыми, получаем, что (E₅, C₅D₅) = (AB, CD). Для полноты решения задачи необходимо вернуть отрезок EF длиной (AB, CD) на исходные плоскости проекций:

1) строим E₄F₄ // x₂;

2) строим E₁F₁ по проекциям E₅F₅, E₄F₄ ; E₂F₂ по проекциям E₄F₄ , E₁F₁ .

Отрезки E₂F₂ , E₁F₁ представляют собой основные проекции отрезка EF.

В стереометрии известно еще одно определение рассматриваемого расстояния: расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями, проведенными через эти прямые.

Такое определение расстояния позволяет предложить более короткий путь решения рассматриваемой задачи. Пусть AB и CD – скрещивающиеся прямые (рис. 8.8). Переместим в пространстве прямую АВ параллельно самой себе в положение А¹В¹ до пересечения с CD. Если взять теперь на прямой АВ любую точку Е и опустить из этой точки перпендикуляр ЕЕ¹ на образовавшуюся плоскость Σ(CD, A¹B¹), то длина этого перпендикуляра будет искомым расстоянием (AB,CD). Рассмотрим проекционное решение задачи.

Задача. Даны скрещивающиеся прямые АВ и CD (рис. 8.9). Определить расстояние между ними.

Решение задачи может быть следующим.

1. Перенесем прямую АВ параллельно самой себе до пересечения с CD. Таких

переносов может быть бесконечное множество. Один из переносов, например

А₁В₁ ® А₁¹В₁¹ , А₂В₂ = А₂¹В₂¹ – наиболее простой для данного КЧ вариант.

2. Получаем новые условия задачи: задана плоскость Σ (А¹В¹ , CD), где А¹В¹ Ç CD и точка А; требуется определить расстояние r(А, Σ). Решение задачи выполняется методом замены плоскостей проекций по ранее изложенной схеме проекционного решения.