12.2. Работа сил. Потенциальная энергия деформации
В зависимости от вида перемещений будем различать действительную и возможную работу сил на этих перемещениях.
Действительной называется работа силы на перемещении ею же и вызванным.
При определении действительной работы необходимо помнить о статическом характере действующей на сооружение нагрузки (см. подразд. 1.6.1), которая увеличивается постепенно до своей конечной величины.
Для определения действительной работы T обозначим переменное значение внешней силы Fi, а переменное значение вызванного ею перемещения – Δi (рис.12.1, а). Приращение статически приложенной силы dFi вызовет приращение перемещения dΔi. Тогда работа, совершенная приращением силы будет выражаться площадью заштрихованной трапеции, которую в силу малости величин можно считать площадью элементарного прямоугольника. Таким образом, элементарная работа может быть записана как
dT = dFi∙dΔi.
Полная действительная работа по достижении силы и перемещения своих конечных величин (точка А на рис.12.1) будет равна
,
(12.3)
т.е. будет выражаться площадью треугольника OAB.
Если на систему действует несколько сил, то на основании принципа независимости действия сил выражение (12.3) примет вид
.
(12.4)
Таким образом, суммарная работа внешних сил равна полусумме произведений каждой силы на соответствующее ей перемещение (теорема Б. Клайперона).
Если же работа силы совершается на перемещении, вызванном какими либо другими факторами, полагают, что указанная сила уже достигла своей статической величины, а изменяется лишь перемещение (рис.12, б). В этом случае работу силы на перемещении называют возможной, и она выражается площадью прямоугольника ABOC, т.е.
.
(12.5)
Получим теперь выражения для действительной работы внутренних сил. Для упрощения расчётных формул рассмотрим только плоскую систему при совместном действии растяжения (сжатия) с изгибом.
В этом случае деформации бесконечно малого элемента стержня (рис.12,2) можно записать в следующем виде:
1. при растяжении или сжатии (рис.12.2, а) на основании закона Гука
;
(12.6)
2. при изгибе (рис.12.2, б) на основании (10.7)
;
(12.7)
3. при сдвиге (рис.12.2, в) на основании (9.2), (10.14)
,
(12.8)
где
–
безразмерный коэффициент, зависящий
от формы сечения (для прямоугольника η
= 1,2; для круга η = 10/9 и т.д.).
Силы N, M и Q, действующие на бесконечно малый элемент ds, совершают работу не перемещениях (12.6), (12.7) и (12.8) соответственно, вызванных этими силами. Работа внутренних сил всегда отрицательна, так как внутренние силы всегда противодействуют деформациям.
На основании выше изложенного можно записать выражения для элементарной работы каждой из указанных сил:
;
(12.9)
;
(12.10)
.
(12.11)
На основании принципа независимости действия сил, суммируя выражения (12.9), (12.10) и (12.11) и интегрируя результат суммирования в пределах каждого стержня расчётной схемы, получим выражение для действительной работы внутренних сил.
.
(12.12)
При вычислении возможной работы внутренних сил значения деформаций бесконечно малого элемента стержня (12.6), (12.7) и (12.8) будут вызваны иными силовыми факторами. Обозначим внутренние силы, совершающие работу через Mi, Qi и Ni, а внутренние силы, вызывающие деформации – через Mk, Qk и Nk.
Тогда деформации бесконечно малого элемента запишутся в виде
;
;
,
а выражения для элементарной возможной работы
;
;
,
а полное выражение возможной работы внутренних сил по аналогии с (12.12) примет вид
.
(12.13)
Для пространственных расчётных схем можно получить выражения для работ внутренних сил по аналогии с (12.12) и (12.13), добавив ещё три компонента усилий и соответствующих им деформаций: изгиб и сдвиг в плоскости x0z и кручение.
Так как по принятому допущению материал конструкции обладает идеальной упругостью, то после снятия нагрузки система должна вернуться в первоначальное положение, и все элементы должны восстановить свою начальную форму. При этом внутренние силы совершат работу, которая будет положительной, поскольку направления действия внутренних сил совпадут с направлением перемещений.
Исходя из определения, что энергия есть способность тела совершать работу, можем сделать вывод, что работа внутренних сил при переходе упругой системы из деформированного состояния в исходное называется потенциальной энергией внутренних сил деформируемого тела:
.
(12.14)
Итак, мы установили, что внешние силы, деформируя сооружение, совершают положительную работу. В процессе деформации внутренние силы, препятствуя развитию деформаций, совершают отрицательную работу. Исходя из принятых в § 4.3 допущениях никаких других затрат энергии (на преодоление трения, на образование и выделение тепла и т.д.) в идеально упругих системах не происходит. Поэтому в соответствии с законом сохранения энергии работа внутренних сил равна работе внешних сил, но противоположна по знаку:
T = – W. (12.15)